【正文】 T 法等。 功率譜估計的方法 功率譜估計可以分為經典譜估計 (非參數(shù)估計 ) 和現(xiàn)代譜估計 (參數(shù)估計 )。 現(xiàn)代譜估計的內容極 其豐富，涉及的學科及應用領域也相當廣泛，方法大致可分為參數(shù)模型譜估計和非參數(shù)模型譜估計，前者有 AR 模型法 (最大熵譜分析法 )、MA 模型， ARMA 模型、 Prony 指數(shù)模型等；后者有最小方差法，多分量的 MUSIC 1 方法等 [8]。從信號的來源分，又可分為一維譜估計、二維譜估計及多維譜估計。從信號的特征來分，在這之前所說的方法都是對平穩(wěn)隨機信號而言，其譜分量不隨時間變化，對非平穩(wěn)隨機信號，其譜是時變的，近 20 年來，以 wigner 分析為代表的時域分析引起了人們的廣泛興趣，形成了現(xiàn)代譜估計的一個新的研究領域。由于隨機信號是一持續(xù)時間無限長，具有無限大能量的功率信號，它不滿足傅里葉變換條件，而且也不存在解析表達式，因此就不能夠應用確定信號的頻譜計算方法去分析隨機信號的頻譜 [9]。如果隨機信號是平穩(wěn)的，那么其相關函數(shù)的傅里葉變換就是它的功率譜密度函數(shù)，簡稱功率譜。 經典譜估計 直接法：又稱周期圖法，它是把隨機序列 ??xn的 N 個觀測數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計算 ??xn的離散傅立葉變換，得 ??Xk，然后再取其幅值的平方，并除以 N，作為序列 ??xn真實功率譜的估計。周期圖法包含了下列二條假設： 認為隨機序列是廣義平穩(wěn)且各態(tài)遍歷的，可以用其一個樣本 ??xn中的一段來估計該隨機序列 ??Xn的功率譜 ,這當然必帶來誤差。這種方法把隨機序列樣本 ??xn看成是截得一段的有限序列的周期延拓，這也就是周期圖法這個名字的來歷。間接法先由序列 ??xn估計出自相關函數(shù) ??Rn，然后 2 對 ??Rn進行傅立葉變換，便得到 ??xn的功率譜估計。但是，當相關法被引入基于 FFT 的快速變換后，相關法和周期圖法開始融合。其又有以下幾種方法： 法 Bartlett 平均周期圖的方法是將 N 點的有限長序列 ??xn分段求周期圖再平均。二是在分段時，可使各段之間有重疊，這樣會使方差減小。 在經典譜估計中，無論是周期圖法還是其改進方法，都存在著頻率分辨率低、方差性能不好的問題，原因是譜估計時需要對數(shù)據(jù)加窗截斷，用有限個數(shù)據(jù)或其自相關函數(shù)來估計無限個數(shù)據(jù)的功率譜，這其實是假設了窗以外的數(shù)據(jù)或自相關函數(shù)全為零，這種假設是不符合實際的，正是由于這些不符合實際的假設造成了經典譜估計分辨率較差。 現(xiàn)代譜估計 現(xiàn)代譜估計與經典譜估計的主要區(qū)別就在于， 現(xiàn)代譜估計一般采用信號模型 3 法，信號模型法將原始信號視為白噪聲通過一系統(tǒng)的輸出信號，通過對輸出信號的觀測，按照一定的準則，求出相應的系統(tǒng)函數(shù)，這樣再由輸入白噪聲和以求得的系統(tǒng)函數(shù)就很容易得到輸出信號的功率譜。數(shù)據(jù)長度加寬以后，頻譜分辨率會得到改善！因此現(xiàn)代譜估計優(yōu)于經典譜估計。它還被廣泛的應用于各種信號處理中。例如，在最佳線性過濾問題中，要設計一個維納濾波器就首先要求知道信號與噪聲的功率譜密度，根據(jù)信號與噪聲的功率譜才能設計出能夠盡量不失真的重現(xiàn)信號，而把噪聲最大限度抑制的維納濾波器常常利用功率譜估計來得到線性系統(tǒng)的參數(shù)估計。從寬 帶噪聲中檢測窄帶信號。但是這要求功率譜估計有足夠好的頻率的分辨率，否則就不一定能夠清楚地檢測出來。 功率譜估計就是通過信號的相關性估計出接受到信號的功率隨頻率的變化關系，實際用途有濾波、信號識別、信號分離、系統(tǒng)辨識等。 4 2 譜估計中的變量 隨機信號簡介 隨機變量 隨機變量（ random variable）表示隨機現(xiàn)象（在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象）各種結果的變量（一切可能的 樣本點 ）。 隨機變量在不同的條件下由于偶然因素影響，其可能取各種不同的值，具有不確定性 和 隨機性 ，但這些取值落在某個范圍的概率是一定的，此種變量稱為隨機變量。 如 分析 測試中的測定值就是一個以概率取值的隨機變量，被測定量的取值可能在某一范圍內隨機變化，具體取什么值在測定之前是無法確定的，但測定的結果是確定的，多次重復測定所得到的測定值具有 統(tǒng)計 規(guī)律性。 按照隨機變量可能取得的值，可以把它們分為兩種基本類型：① 離散型隨機變量 ，即在一定區(qū)間內變量取值為有限個，或數(shù)值可以一一列舉出來。② 連續(xù)型隨機變量 ，即 在一定區(qū)間內變量取值有無限個 ,或數(shù)值無法一一列舉出來。 設 X 是隨機變量，對任意實數(shù) x ，事件 ? ?Xx? {Xx}的概率 ? ?P X x? 稱為隨機變量 X 的分布函數(shù)。 分布函數(shù)的性質 (1) 單調不減性：若 12XX? , 則 ? ? ? ?12F x F x? ； (2) 歸一性：對任意實數(shù) x ， ? ?0 x 1F??，且 5 ? ? ? ?lim lim x = 0xxFF? ? ? ??? ? ， ? ? ? ?lim x = 1xFF???? ? (3) 左連續(xù)性：對任意實數(shù) x， ? ? ? ?x = xFF?? 、方差、標準差 定義： ? ? ? ?x x p d xu E X x??????? ,為 X 的數(shù)學期望值，或簡稱為均值。若 X 為離散型隨機變量，則上述的求均值運算將有積分改為求和。 在某些 實際問題中，往往需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述試驗的結果。 （ 注 : 二維隨機向量 ? ?,XY 的性質不僅與 X 和 Y 有關 ,而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系。 其定義為： ? ? ? ?001l i m l i m l i m xxx x Tpro b x x t x x TpxT? ? ? ? ????? ? ? ????? ????? ??。 6 相關函數(shù)是兩隨機變量之積的數(shù)學期望，稱為相關性。 隨機過程在某一時刻 1t 的均值（一階矩）可將總體中各樣本函數(shù)在 1t 的瞬時值相加，然后除以樣本函數(shù)的個數(shù)而得到 ? ? ? ?1111lim N kN kt x tN? ?? ?? ?。用 1t 和 ??1t 兩時刻瞬時值乘積的總體平均值得到 ? ? ? ? ? ?1 1 1 111, l imNx x k kN kR t t x t x tN???? ?? ? ??。 (4) 當隨機信號中含有周期信號時， ??XR ? 中也必定有周期性分量，且周期相同。 平穩(wěn)隨機信號 平穩(wěn)隨機信號的定義 平穩(wěn)信號分嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)，嚴平穩(wěn)的條件在信號處理中太嚴格，不實用，一般所說的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)，滿足三個條件： (1) 均值為與時間無關的常數(shù)； (2) 均方有界； 7 (3) 自相關函數(shù)與信號時間的起始點無關，只和時間差有關（寬平穩(wěn)信號的方差和均方也是與時間無關的）。 (2) 平穩(wěn)隨機過程的數(shù)字特征： 1) ? ?xE X t m?????,平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學期望與時間無關； 2) ? ? 2xD X t Q?????， 平穩(wěn)隨機過程的方差與時間無關； 3) ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 2 1 2 1 2, , ,X x x xR t t x x f x x d d R????? ? ? ?????其中： 12tt???； 4) ? ? ? ? ? ?212,X x X XC t t R m C??? ? ?。即若一個隨機過程的數(shù)學期望及方差與時間無關，而其相關函數(shù)僅與 ? 有關，即我們就稱這個隨機過程是廣義平穩(wěn)的。不難看出，嚴平穩(wěn)過程一定是寬平穩(wěn)過程，反之不一定。本論文若不加特別說明，平穩(wěn)過程均指寬平穩(wěn)過程 [13]。所以，平穩(wěn)隨機信號的自相關函數(shù)是時間間隔τ的函數(shù)，記為 ? ?xxR ? 。 平穩(wěn)隨機信號的功率譜 定義：設 { ??Xt, ?? t ?? }是均方連續(xù)的隨機過程，稱 ? ?21lim 2 TTTp E X t d tT ??? ??? ?????為 ??Xt的平均功率。 9 （ 1）若 ? ?XRd????? ??? ，則 ? ?XS ? 是 ???XR 的傅里葉變換； ? ? ? ?? ? ? ?12ixXXixS R e dR S e d???????????????? ???????? (2) SX(? )是 ? 的非負實函數(shù)； (3) 實平穩(wěn)過程的譜密度是偶函數(shù)； 當 ? ?XS ? 是 ? 的有理函數(shù)時，其形式必為 ? ? 2 2 22 2 2 02 2 22 2 0nnnnX na a aS bb??? ?? ??? ? ?? ? ? ?， 其中 2na , 2mb 為常數(shù)，且 2 0na ? , mn? ，分母無實根。也就是說，盡管在一次抽樣中得到的估計值不一定恰 好等于待估參數(shù)的真值，但在大量重復抽樣時，所得到的估計值平均起來應與待估參數(shù)的真值相同．換句話說，我們希望估計量的均值（數(shù)學期望）應等于未知參數(shù)的真值，這就是所謂無偏性(Unbiasedness)的要求。一個估計量如果不是無偏的就稱它是有偏估計量。無偏估計的實際意義就是無 10 系統(tǒng)偏差，估計量是否無偏是評價估計量好壞的一個重要標準，若 E???? ，但有 limn E????? ?，則稱 ?? 是 ? 的漸近無偏估計。 定義 : 設與 ? ?nXXX ?， 2122 ?? ??? 都 是 總 體 參 數(shù) ? 的 無 偏 估 計 ， 若12DD????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ,則稱 1?? 比 2?? 更有效。由于估計量 ?? 和樣本容量 n 有關，我們自然希望當 n 很大時，一次抽樣得出的的 ?? 值能以很大的概率充分接近被估參數(shù) ? ，這就提出了相合性 (Consistency)（一致性）的要求。 ? 是 ?? 的相合估計就意味著 ?? 依概率收斂于 ? .根據(jù)大數(shù)定律，無論總體 X服從什么分布，只要其 k 階原點矩 ? ?kk EX? ? 存在，則對任意 0?? 都有11lim 1N iXN i XEn ??? ???? ? ??????，所以樣本的 k 階原點矩11 n kkiA X in ?? ?始終是總體 k 階原點矩 k? 的相合估計。特別地， Xu?? 總是 XuE? XuE? 的相合估計 , 樣本方差 2S 和樣本的二階中心矩 2nS 都是總 11 體方差 2? 的相合估計 S 和 s 又都是 ? 的相合估計。 3 經典功率譜估計 經典譜估計方法是以傅里葉變換為基礎的方法，主要有兩 類：周期圖法和自相關法（布萊克曼 — 圖基法，簡稱 BT 法）。 譜估計與相關函數(shù) 相關函數(shù)和功率譜 若 ?? xx mnm )( 常數(shù)， ? ? ? ?1 2 1 2,xx xxr n n r n n??即 ? ? ? ? ? ?][ * nxknxEkrxx ?? ，則稱 )}({ nx 為廣義平穩(wěn)序列。廣義平穩(wěn)隨機序列 )}({ nx 的相關函數(shù) )(krxx 和它的功率譜密度 )(?xxP 之間是傅立葉變換對的關系，即 ? ? ? ? ?? ? dekrP kjk xxxx ???????? ? ? ? ?12 jkxx xxr k P e d? ?? ??? ?? ? 這一關系式常稱為維納 —— 辛欽定理。 12 相關函數(shù)的極大值出現(xiàn)在 0?k 處，即 )0()( xxxx rkr ? 。 當 )(nx 為實序列時， )(?xxP 為非負實對稱函數(shù)，即 )()( ?? xxxx PP ?? 和0)( ??xxP 。 自相關函數(shù)（ ACF）和互相關函數(shù)（ CCF）的 z 變換定義為： ? ? ? ? kk xxxx zkrzP ???????? ； ? ? ? ? kk xyxy zkrzP ???????? ， 若令 ff,2??? 為歸一化頻率，頻率區(qū)間 2121 ??? f 為基本周期。 當一平穩(wěn)隨機序列 )}({ nx 通過一個脈沖響應為 )(nh 的線性非時變系統(tǒng)時，其輸出序列 )}({ ny 也是一平穩(wěn)隨機序列。令 )2e x p ()e x p ( fjjz ?? ?? ，得到相應的功率譜表達： )()()( 2 ??? xxyy PHP ? 或 )()( 2 fPfHf xxyy ? ，上述關系對 13 以后討論譜估計問題是很有用的。 經常會遇到的一種過程是離散白噪聲，它的自相關函數(shù)（ ACF）定義為： )()( 2 kkr xxx ??? ，其中 )(k? 是離散沖激函數(shù)。 所以 222/12/1 )()( xfjxxxx dfekrfP ?? ?? ??? ， 這表明它在各頻率上是完全平坦的。 相關函數(shù)的估計 自相關函數(shù)的各態(tài)歷經性 一般說來，嚴格各態(tài)歷經過程允許我們用時間平均來代替系綜平均（集合平均或統(tǒng)計平均），用時間平均作為廣義平穩(wěn)隨機過程均值的估計。下面討論隨機序列有限個樣本的相關函數(shù)的估計問題。有時簡稱之為長度為 N的隨機序列 )(nx 。 方法二：有限長度序列 }1,1,0),({ ?? Nnnx ?的相關