【正文】 設(shè)計(jì)要求基于 RLS 算法實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)濾波器，要求完成自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)和調(diào)試。 自適應(yīng)濾波器，其權(quán)系數(shù)可以根據(jù)自適應(yīng)算法來不斷修改，使得系統(tǒng)中的沖激響應(yīng)滿足給定的性能。自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)的算法采用的是自適應(yīng)算法，即 RLS 算法。 本文的正文部分共分為五章，各章的主要內(nèi)容安排如下： 第一章是緒論，主要介紹了自適應(yīng)濾波技術(shù)的發(fā)展，課題研究的背景及意義，以及本文的主要工作內(nèi)容。分析遞推最小二乘法（ RLS）算法和最小均方（ LMS）算法，并對(duì)已經(jīng)提出的算法作了詳細(xì)的比較和總結(jié)。本章分別對(duì) IIR 濾波器 的工作原理和 FIR 濾波器的工作原理做了大概的分析，得出了兩種結(jié)構(gòu) 的濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)，經(jīng)過比較，本文采用了 FIR 橫向結(jié)構(gòu)。 第五章是總結(jié)與展望。 基于 RLS 算法的自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 4 第 2 章 自適應(yīng)濾波器 理論基礎(chǔ) 濾波器的基本概念 凡是有能力進(jìn)行信號(hào)處理的裝置都可以稱為濾波器。濾波器的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的優(yōu)劣，所以，對(duì)濾波器的研究和生產(chǎn)歷來為各國所重視。這里，期望響應(yīng)信號(hào) ??dn是根據(jù)不同用途來選擇的，自適應(yīng)濾波器的輸出信號(hào) ??yn是對(duì)期望響應(yīng)信號(hào) ??dn進(jìn)行估計(jì)的，濾波參數(shù)受誤差信號(hào) ??en的控制并自動(dòng)調(diào)整。但是，自適應(yīng)濾波器本身有一個(gè)重要的自適應(yīng)算法，這個(gè)算法可以根據(jù)輸入、輸出及原參量值，按照一定準(zhǔn)則修改濾波參量，以使它本身能有效地跟蹤外部環(huán)境的變化。當(dāng)然，它也能推廣到自適應(yīng)非線性濾波器。另一類為遞歸型數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)，理論上，它具有無限的記憶，因而稱之為無限沖激響應(yīng)（ IIR）系統(tǒng)，即自適應(yīng) IIR濾波器。 數(shù)字濾波器的基本概念 從輸入信號(hào)中濾出噪聲和干擾以提取有用信息的過程稱為濾波，相應(yīng)的裝置稱為濾波器。當(dāng)濾波器的輸出信號(hào)為輸入端的線性函數(shù)時(shí)，該濾波器稱為線性濾波器，否則就稱為非線性濾波器。 圖 22 數(shù)字濾波器 設(shè)輸入信號(hào)為 x(n)，輸出信號(hào)為 y(n)，該數(shù)字濾波器可用以下差分方程來表示： ? ?? ??? ?? ???? 10 11)()( Mi Ni ii inybinxany (21) 式中 ia ， ib 稱為濾波器系數(shù)。 基于 RLS 算法的自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 6 如果 0?ia ， 0?ib 時(shí)，則稱為全極點(diǎn)濾波器或遞歸濾波器。如果 沖激響應(yīng)函數(shù)是有限長的，即 ? ? ? ???? ??? else Nnnhnh ,0 0, (26) 則稱此濾波器為有限沖激響應(yīng) FIR 濾波器，否則，稱之為無限沖激響應(yīng) IIR 濾波器。自適應(yīng)濾波器實(shí)質(zhì)上就是一種能調(diào)節(jié)其自身傳輸特性以達(dá)到最優(yōu)的維納濾波器 。由于無法預(yù)先知道信號(hào)和噪聲的特性或者它們是隨時(shí)間變化的，僅用 FIR 和 IIR 種具有固定濾波系數(shù)的濾波器無法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應(yīng)濾波器的特性變化是由自適應(yīng)算法通過調(diào)整濾波器系數(shù)來實(shí)現(xiàn)的。自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)采用 FIR 或 IIR結(jié)構(gòu)均可，由于 IIR濾波器存在穩(wěn)定性問題，因此一般采用 FIR 濾波器作為自適應(yīng) 濾波器的結(jié)構(gòu)。 ??ek 和 ??xk通過自適應(yīng)算法對(duì)濾波器的權(quán)系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整的目的使得誤差信號(hào) ??ek 最小。一旦輸入的統(tǒng)計(jì)規(guī)律發(fā)生了變化，濾波器能夠自動(dòng)跟蹤輸入信號(hào)變化，自動(dòng)調(diào)整濾波器的權(quán)系數(shù)，最終達(dá)到濾波效果，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)過程。 圖 24 自適應(yīng)濾波器的系統(tǒng)識(shí)別框圖 自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)可以采用 FIR或 IIR濾波器存在穩(wěn)定性問題，因此一般采用 FIR濾波器作為自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)。本 文 采用自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)中最常用的 FIR 橫向型結(jié)構(gòu)?；谔荻鹊淖钚【?(LMS)算法是最基本的算法，其含義相對(duì)簡單明了。而基于梯度的算法中，最簡單的一種就是最小均方算法 LMS 算法 ， LMS 算法 使用的準(zhǔn)則是使均衡器的期望輸出值和實(shí)際輸出值 之間的均方誤差 (MSE)最小化的準(zhǔn)則，依據(jù)輸入信號(hào)在迭代過程中估計(jì)梯度矢量，并更新權(quán)系數(shù)以達(dá)到最優(yōu)的自適應(yīng)迭代算法 [9]。自適應(yīng)濾波器最普通的應(yīng)用就是橫向結(jié)構(gòu)。這個(gè)例子就是有限脈沖響應(yīng)濾波器的形式，為 x(n)和 w(n)兩個(gè)矩陣卷積。使用輸入向量 ??xn和 ??en 來更新自適應(yīng)濾波器的最小化標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)系數(shù)。 本節(jié)所用的標(biāo)準(zhǔn)是最小均方誤差 (MSE)。 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? PnwnwRnwneEe TT ?????? 22 (212) 由式 (212)可見，自適應(yīng)濾波器的代 價(jià)函數(shù)是延遲線抽頭系數(shù)的二次函數(shù)。 最優(yōu)解 ? ?TNo w ???? ?110 ?最小化 MSE，源自解這個(gè)公式 ? ? 0?nw??? (213) 將式 (212)對(duì) w 求其偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，假設(shè)矩陣 R 滿秩 (非奇異 )， 可得代價(jià)函數(shù)最小的最佳濾波系數(shù) 0w PRw ?? ?10 (214) 基于 RLS 算法的自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 10 這個(gè)解稱為維納解，即最佳濾波系數(shù)值。當(dāng)濾波器工作在平穩(wěn)隨機(jī)過程的環(huán)境下，這個(gè)誤差性能曲面就具有固定邊緣的恒定形狀。 自適應(yīng)過程是在梯度矢量的負(fù)方向接連的校正濾波系數(shù)的，即在誤差性能曲面的最陡下降法方向移動(dòng)和逐步校正濾波系數(shù)，最終到達(dá)均方誤差為最小的碗底最小點(diǎn)，獲得最佳濾波或準(zhǔn)最優(yōu)工作狀態(tài)。這個(gè)方法可以避免復(fù)雜的計(jì)算。 對(duì)于 LMS算法梯度 ??vn通過假設(shè)平方誤差。因此，梯度預(yù)測可以單一化表示為 : ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?nxnenw nen ????? 22?? (215) 在實(shí)際應(yīng)用中， 2u經(jīng)常用來代替 u。按照最陡下降法調(diào)節(jié)濾波系數(shù)，則在 1n?時(shí)刻的濾波系數(shù)或權(quán)矢量 ? ?1wn? 可以用下列簡單遞歸關(guān)系來計(jì)算 : ? ? ? ? ? ? ? ?nxneunwnw ????? 21 (216) u 是自適應(yīng)步長來控制穩(wěn)定性和收斂率。 以任意初始向量 ??0w 來開始，向量 ??wn集中在最佳解決方法 ??0w ，假如選擇 u max10 ???u (217) 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 11 max? 為矩陣 R 的最大特征值，受限制于 ? ? ? ? ? ?0010m a x NrrRTr Ni ??? ???? (218) ? ?TrR 為指示矩陣的軌跡， ? ? ? ?20r E x n??? ??是平均輸入功率。總體來說，權(quán)向量要獲得收斂只有當(dāng)最緩慢的權(quán)集中一點(diǎn)。具有全異的特征值，規(guī)定時(shí)間是受最慢模式的限制。這個(gè)自適應(yīng)處理的噪聲導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)權(quán)向量隨意的改變?yōu)樽钸m宜的權(quán)向量。這個(gè) LMS 算法超過 EMS 的是 ? ? m in???? RTruexcessE M S (220) min? 是 MSE 在穩(wěn)態(tài)的最小值。后面會(huì)有進(jìn)一步關(guān)于 LMS 算法特征的討論。這個(gè)常數(shù)首先計(jì)算， 然后乘以 ??xn來更新 ??wn。 3)將時(shí)間指數(shù) n 增加 1，回到第一步驟，重復(fù)上述計(jì)算步驟，一直到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)為止。因而得到了廣泛的應(yīng)用。特別是，如果矩陣 R 是 NN 的且特征值為12, ,..., N? ? ? ，則可以使用一種含有 N個(gè)參數(shù)的算法，其中每個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值。因此，將直接處理接收數(shù)據(jù)，使二次性能指數(shù)最小，而以前是使平方誤差的期望值最小。 基于時(shí)間平均的最小平 方誤差被定義如下： ? ? ? ? ? ?nienienJ nni ,*11 ???? ? (222) 式中， ? 是接近 1,但是小于 1的加權(quán)因子， ? ?*,e in )是 ? ?,ein 的復(fù)共軛，且誤差 為 ? ? ? ? ? ? ? ?nwixidnie T??, ni??0 (223) 且 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?TNixixixix 1,1, ???? ? (224) 式中， ??xi 是 i 時(shí)刻的輸入數(shù)據(jù)向量， ??wn是 n 時(shí)刻的新的抽頭增益向量。 要完成 RLS 算法就要找到 均衡器的抽頭增益向量 ??wn，使得累計(jì)平方誤差 ??Jn最小。而因子 ? 會(huì)在計(jì)算時(shí)更依賴于新近的數(shù)據(jù)，也就是說， ??Jn會(huì)丟掉非穩(wěn)定環(huán)境中的較舊的數(shù)據(jù)。 為了獲得 ??Jn的最小值，可使 ??Jn的梯度為 0,即 ? ? ? ? 0?? ? nJnw，通過運(yùn)算可知： ? ? ? ? ? ?npnwnR ?? (225) 式中， ??nw? 是 RLS均衡其的最佳抽頭增益向量。要用式 (225)計(jì)算均衡器的抽頭增益向量 ?w ，就需要計(jì)算 ? ?1Rn? 。 ? ? ? ? ? ? ? ?nxnxnRnR T??? 1? (228) 基于 RLS 算法的自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 14 由于式 (228)中的三項(xiàng)都是 NN 的方陣，我們可以使用方程倒數(shù)的引理得到 ? ?1Rn?遞歸公式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? ? ????? ???? n nRnxnxnRnRnR T??? 1111 1111 (229) 式中 ? ? ? ? ? ? ? ?nxnRNxn T 11 ?? ?? (230) 根據(jù)上述遞歸公式，可知： ? ? ? ? ? ? ? ?1,*1 ???? nnengnwnw (231) 式中 ? ? ? ? ? ?? ?nnxnRng ?? ?? ?1 (232) 初始化： ? ? ? ? ? ? ?? ,0,000 1 IRgw ??? ?是一個(gè)正常數(shù) 計(jì)算： 對(duì)于 n=1,2… ，計(jì)算 ? ? ? ? ? ?nxnwny T 1?? ? ? ? ? ? ?nyndne ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?nxnRnx nxnRng T 1111 ?? ?? ??? (233) 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?111 111 ???? ??? NRnxngnRnR T? ? ? ? ? ? ? ? ?nengnw