【正文】 023 Rcbacbxaxx ????? , 首先把上面的三次方程化為沒有二次項的一個三次方程 , 令 ，3axy ?? 濟南大學畢業(yè)論文 14 移項整理得 ,3ayx ?? 帶入三次方程可得 ,027 c279233 323 ?????? abayaby 令 ，27 2792,33 32 cabaqabp ????? 則方程化為 ，03 ??? qpyy 上式可寫成 ，03 ??? qpxx 只要解 得上式方程的根 ,則 可以得到 一元 三次方程 023 ???? cbxaxx 的根 . 設未知數(shù) zy, ,得 xzy ?? , 3pzy ??, 聯(lián)立方程得 0))(3(33 ?????? qzypyzzy , qzy ??? 33 , 把3pzy ??化簡得 27333 pzy ??， 可由韋達定理 , 33,yz 是方程 02732 ??? pqtt 的兩個根 ,解此方程可知 ,2742 323 pqpy ???? ,2742 323 pqpz ???? 濟南大學畢業(yè)論文 15 由于 zy, 都有三個值 ,我們必須取合適的 zy, 能滿足 ,3pyz ?? 設 y 的三個根分別為 , 21111 ?? yyy z 的三個根分別為 , 21111 ?? zzz 由于 121 ??? ,可以滿足 ,3pyz ?? 可以選取 zy, 的值 ??? ?? ,11zz yy ??? ?? ,ωzz ,ωyy2111 ??? ?? ,ωzz ,ωyy1121 所以方程 ）（ 1 的三個根為 111 zyx ?? , 21112 ?? zyx ?? , 11213 ?? zyx ?? , 我們一起討論下方程 03 ??? qpxx 的虛實： ）（ i 如果 0274 32 ?? pq ,可得 3y 和 3z 都是實數(shù) 33, zy ? . 設 ,1y 1z 分別是 ,3y 3z 的實立方根，所以 111 zyx ?? 為實數(shù)， 21112 ?? zyx ?? 2 32 3 1111 izziyy ?????? izyzy 322 )( 1111 ????? ， 11213 ?? zyx ?? 2 32 3 1111 izziyy ?????? izyzy 322 )( 1111 ????? ， 濟南大學畢業(yè)論文 16 由于 1x , 2x 互為共軛虛數(shù) ,因此在 0274 32 ?? pq時 ,方程 03 ??? qpxx 有一實數(shù)根 ,有兩個共軛虛數(shù)根； ）（ ii 如果 ，0274 32 ?? pq 則 ，233 pzy ??? 設 11 zy? 是 3y 和 3z 的實立方根 ,有 11 2yx ? 是實數(shù)根 , ，11111111122323yiyyiyyzyx?????????? ?? ，11111112132323yiyyiyyzyx?????????? ?? 所以在 0274 32 ?? pq時 ,方程 ，03 ??? qpxx 有三個實數(shù)根 ,并且其中有兩個相等的根； ）（ iii 如果 0274 32 ?? pq 時 ,有 3y 和 3z 互為共軛虛數(shù) ,下面 證明 y 和 z 也是共軛虛數(shù) . 證 設 ，232274 upq ???其中 u 為實數(shù) , 則 ，3274427423322332ppqqpqqy????????? 由 0274 32 ?? pq,可得 濟南大學畢業(yè)論文 17 0?p , 于是 ，03??p 得 ?y ，3p? 即 ，yzpy ??? 32 由 yyy ?2 可得 ,yz? 即 y 和 z 互為共軛虛數(shù) . 設 nimy ?? ,其中 m ,n 都是實數(shù) ,則 ， ，nizy myyzy 2 3?? ???? 方程的三個根為 ，mzyx 21 ??? ，nmizyzyzyx3322 )(212?????????? ?? ，nmizyzyzyx3322 )(123?????????? ?? 于是方程 03 ??? qpxx 三個 根 都是實數(shù) , 所以對于 0274 32 ?? pq,方程 03 ??? qpxx 的根 都是實數(shù) . 由上面推導 ,我們可以得出274 32 pq ?是方程 03 ??? qpxx 的判別式 . 濟南大學畢業(yè)論文 18 令 ，274 32 pq ??? 則 , (1) 當 0?? ,方程有一個實數(shù)根 ,一 對共軛虛數(shù)根； (2) 當 0?? ,方程有三個實數(shù)根 ,且其中兩個相等； (3) 當 0?? ,方程有三個不相等的實數(shù)根 . 一元三次方程判別式應用 例 16 判斷 一元三次 方程 0463 ??? xx 根的虛實 , 并解方程 . 解 因為 6??p , 4?q , ，）（ 0427644274 3232 ????????? pq 即方程有三個實數(shù)根 ，ipqqy 222742 323 ??????? 由于 ，）（ ii 221 3 ???? 則 ，iy ??11 即 ，1?m ，1?n 所以 ，iz ??11 于是方程有三個實根為 ???????????????????.313,31322321nmxnmxmx ， 濟南大學畢業(yè)論文 19 例 17 已知函數(shù) 13)( 3 ??? axxxf , 0?a .若 )(xf 在 1??x 處能取得極值 ,直線 my?與 )(xfy? 的圖像有三個不同的交點 ,試求 m 的取值范圍 . 解 因為 )(xf 在 1??x 處取得極值 , 所以 033)1( ???? af , 得 1?a , 即題目中的函數(shù)為 13)( 3 ??? xxxf , 由于 直線 my? 與 )(xfy? 的圖像有三個不同的交點， 構造函數(shù) ，mxxxg ???? 13)( 3 轉化 成關于 )(xg 的圖像與 x 軸有三個不同的交 點 的問題 , 即方程 0133 ???? mxx 有三個不同的實數(shù)根 , 由判別式定理可知 ，0)33()21( 32 ??????? m 得 13 ??? m ， 因此 m 的取值范圍為 (3, 1). 一元三次判別式的應用 ,這與前面的方法 有相似的地方 ,都是用判斷方程根的情況 ,來構造函數(shù)解決問題 .一元三次方程式在復數(shù)域比較明顯，更加全面理解一元三次方程 ,更好的研究其性質 . 濟南大學畢業(yè)論文 20 4 三角函數(shù)判別式的應用 三角函數(shù)判別式的定理 三角函數(shù)判別式的定理在文 [15]介紹了有關三角方程成立的條件 . 在實數(shù)范圍內 ,三角方程 0cc o ss in ??? xbxa ( ba, 不同時為零 )有解的條件是 122 ??ba c , 其判別式為 ，222 cba ???? (1) 當 0?? ,方程有兩個不同的實數(shù)根； (2) 當 0?? ,方程有一個實數(shù)根； (3) 當 0?? ,方程無實數(shù)根 . 三角函數(shù)判別式的應用 三角 判別式 在代數(shù)中的應用 例 18 如果實數(shù) 、x y 滿足 5)2( 22 ??? yx , 那么xy的最大值是多少 . 解 由題可設 ?sin52??x , ?cos5?y , 令 kxy? , 則 02c o s5s in5 ??? kk ?? , 由方程有解 ,得 0)2()5()5( 222 ??????? kk, 解得 55 ??? k , 即xy的 最大值為 5 . 濟南大學畢業(yè)論文 21 三角判別式在方程中的應用 例 19 設關于 x 的方程 kxx xx ??? ?? c o s3s in21 c o ss in23恒有實數(shù)根 , 求實數(shù) k 的取值范圍 . 解 原方程可化為 0)3(s in)22(c os)13( ?????? kxkxk , 由 題意知上式 方程恒有解 ,則 0)3()13()22( 222 ???????? kkk , 解得 0?k 或 13??k . 三角判別式在函數(shù)中的應用 三角函數(shù)判別式在函 數(shù)中用途廣泛 ,楊麗邁 ,蔡剛介紹了把一般形式的三角函