高中數(shù)學(xué)三角變換與解三角形-在線瀏覽
2024-10-25 20:11本頁(yè)面
【正文】 由題意得 sinBcosA＝ sinAcosA， 當(dāng) cosA＝ 0 時(shí)， A＝ π2， △ ABC 為直角三角形； 當(dāng) cosA≠ 0 時(shí)，得 sinB＝ sinA，由正弦定理得 a＝ b， △ ABC 為等腰三角形． 所以， △ ABC 為直角三角形或等腰三角形． 例 3 解： (1) 由已知得 2sinC2cosC2＋ 1－ 2sin2C2＝ 1－ sinC2， 即 sinC2?? ??2cosC2－ 2sinC2＋ 1 ＝ 0， 由 sinC2≠ 0 得 2cosC2－ 2sinC2＋ 1＝ 0， 即 sinC2－ cosC2＝ 12，兩邊平方得： sinC＝ 34. (2) 由 sinC2－ cosC2＝ 12＞ 0 知 sinC2＞ cosC2，則 π4＜ C2＜ π2，即 π2＜ C＜ π，則由 sinC＝ 34得 cosC＝－ 74 ，又 a2＋ b2＝ 4(a＋ b)－ 8，即 (a－ 2)2＋ (b－ 2)2＝ 0，故 a＝ b＝ 2，所以由余弦定理得 c2＝ a2＋ b2－ 2abcosC＝ 8＋ 2 7， c＝ 7＋ 1. 變式訓(xùn)練 已知 △ ABC 中， a、 b、 c 是三個(gè)內(nèi)角 A、 B、 C的對(duì)邊，關(guān)于 x 的不等式 x2cosC＋ 4xsinC＋ 6＜ 0 的解集是空集． (1) 求角 C 的最大值； (2) 若 c＝ 72， △ ABC 的面積 S＝ 32 3，求當(dāng)角 C 取最大值時(shí) a＋ b 的值． 解： (1) ∵ 不等式 x2cosC＋ 4xsinC＋ 6＜ 0 的解集是空集． ∴ ????? cosC＞ 0，Δ≤ 0， 即 ????? cosC＞ 0，16sin2C－ 24cosC≤ 0， 得 ????? cosC＞ 0，cosC≤ － 2或 cosC≥ 12， 故 cosC≥ 12，而 cosC＝ 0 時(shí)解集不是空集． ∴ 角 C 的最大值為 60176。時(shí)， S△ ABC＝ 12absinC＝ 34 ab＝ 32 3， ∴ ab＝ 6，由余弦定理得 c2＝ a2＋ b2－ 2abcosC＝ (a＋ b)2－ 2ab－ 2abcosC， ∴ (a＋ b)2＝ c2＋ 3ab＝ 1214 ， ∴ a＋ b＝ 112 . 例 4 解： (1)(解法 1)注意角的變換 2α＋ β＝ (α＋ β)＋ α， β＝ (α＋ β)－ α. (1) 由 sin(2α＋ β)＝ 3sinβ 得， sin[(α＋ β)＋ α]＝ 3sin[(α＋ β)－ α]， 則 sin(α＋ β)cosα＋ cos(α＋ β)sinα＝ 3sin(α＋ β)cosα－ 3cos(α＋ β)sinα， ∴ sin(α＋ β)cosα＝ 2cos(α＋ β)sinα， ∴ tan(α＋ β)＝ 2tanα， 于是 tanα＋ tanβ1－ tanαtanβ＝ 2tanα，即 x＋ y1－ xy＝ 2x， 鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán) 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號(hào) B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： ∴ y＝ x1＋ 2x2，即 f(x)＝ x1＋ 2x2. (解法 2) 直接展開(kāi)，利用 “1”的變換． sin2αcosβ＋ cos2αsinβ＝ 3sinβ， 2sinαcosαcosβ＋ (cos2α－ sin2α)sinβ＝ 3sinβ， 2sinαcosαsin2α＋ cos2α
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