【正文】 實數(shù)根 41041 ????? aa ；如果 P 正確，且 Q 5 ∴方程有實數(shù)根 ① 不正確，有 44141,40 ?????? aaa 且；如果 Q 正確，且 P 不正確，有041,40 ????? aaaa 且或 。 18．本題考查充要條件、充分條件、必要條件．對于這類問題，將語言敘述符號化，畫出它們的綜 合結(jié)構(gòu)圖，再給予判定． 解： p、 q、 r、 s 的關(guān)系如圖所示，由圖可知 答案：（ 1） s 是 q 的充要條件 （ 2） r 是 q 的充要條件 （ 3） p 是 q 的必要條件 19．證明：用反證法，假設(shè)???????????????????????????????21)1(21)1(21)1(41)1(41)1(41)1(accbbaaccbba，① +② +③得： 23212121)1()1()1(23 ???????????????? accbbaaccbba ，左右矛盾，故假設(shè)不成立，∴（ 1－ a） b,（ 1－ b） c，（ 1－ c） a不同時大于 41 . 20．解析：先證充分性，而必要性只需要通過 舉反例來否定 . 先證明條件的充分性： ,2202020)2)(2(0)2()2(,08484444)(2)2)(2(,0844424)()2()2(,44242,0)(4,44221212121212121212122????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????xxxxxxxxabxxxxxxaxxxxbababababa而?? ①、②知“ a≥ 2 且 |b|≤ 4” ?“方程有實數(shù)根，且兩根均小于 2” . 再驗證條件不必要： ∵方程 x2－ x=0 的兩根為 x1=0, x2=1，則方程的兩根均小于 2，而 a=－ 21 2， ∴“方程的兩根小于 2” ?“ a≥ 2 且 |b|≤ 4” . 6 綜上， a≥ 2 且 |b|≤ 4是方程有實數(shù)根且兩根均小于 2的充分但不 必要條件 . 第 2 章 圓錐曲線與方程 167。 。 。 。 。 。 12. 11015 22 ??yx。14. 54 。 雙曲線 經(jīng)典例題： [解析 ]： 聯(lián)立方程組 ??? ?? ?? 12 22 yx bkxy消去 y 得 (2k2－ 1)x2+4kbx+（ 2b2+1） =0, 當(dāng) 時，即 22k,021 2 ???? k 若 b=0，則 k ?? ；若bbx 22 120b 2 ?????，不合題意 . 當(dāng) 時，即 22k,021 2 ???? k 依題意有 △=(4kb) 2－ 4(2k2－ 1)(2b2+1)＞ 0， 122 22 ??? bk 對所有實數(shù) b 恒成立， min22 )12(2 ??? bk ∴2k 21，得 2222 ??? k . 當(dāng)堂練習(xí)： 。 。 。 。 。 11. 47 。 13. 64 。 15． [解析 ]：設(shè)雙曲線方程為： ??? 22 169 yx ，∵雙曲線有一個焦點為（ 4， 0）， 0??? 雙曲線方程化為：2548161691169222 ??????? ????? yx， ∴雙曲線方程為：1251442525622 ?? yx ∴455164 ??e． 16． [解析 ]：易知 2,2, ??? eacab ，準(zhǔn)線方程：2ax ??，設(shè) ? ?yxP , ， 則 )2(21 axPF ??， )2(22 axPF ??， 22 yxPO ?? ， 8 ① ② 222221 2)2(2 axaxPFPF ?????? 222222 )( POyxaxx ?????? 21 PFPOPF 、? 成等 比數(shù)列 . 17． [解析 ]： (1)∵ x2－ y2＝ 1， ∴ c＝ |PF1|＋ |PF2|＝ 2a(常數(shù) a＞ 0)， 2a＞ 2c＝ 2 2， ∴ a＞ 2 由余弦定理有 cos∠ F1PF2 ＝ |PF1|2＋ |PF2|2－ |F1F2|22|PF1||PF2| ＝(|PF1|＋ |PF2|)2－ 2|PF1||PF2|－ |F1F2|22|PF1||PF2| ＝2a2－ 4|PF1||PF2|－ 1 ∵ |PF1||PF2|≤ (|PF1|＋ |PF2|2 )2＝ a2， ∴ 當(dāng)且僅當(dāng) |PF1|＝ |PF2|時， |PF1||PF2|取得最大值 a2. 此時 cos∠ F1PF2取得最小值 2a2－ 4a2 － 1，由題意2a2－ 4a2 － 1＝－13，解得 a2＝ 3， 123222 ?????? cab ∴ P 點的軌跡方程為 x23＋ y2＝ 1. (2)設(shè) l： y＝ kx＋ m(k≠ 0)，則由 ，?????????mkxyyx 13 22 將 ② 代入 ① 得： (1＋ 3k2)x2＋ 6kmx＋ 3(m2－ 1)＝ 0 (*) 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)，則 AB中點 Q(x0， y0)的坐標(biāo)滿足： x0＝ x1＋ x22 ＝ － 3km1＋ 3k2， y0＝ kx0＋ m＝ m1＋ 3k2 即 Q(－ 3km1＋ 3k2， m1＋ 3k2) ∵ |MA|＝ |MB|， ∴ M在 AB 的中垂線上， ∴ klkAB＝ k178。 4=1360 由雙曲線定義知 P 點在以 A、 B 為焦點的雙曲線 12222 ??byax 上， 依題意得 a=680, c=1020， :,3 4 056 8 01 0 2 0 222222 故雙曲線方程為??????? acb 13405680 2222 ??? yx 用 y=－ x 代入上式，得 5680??x ，∵ |PB||PA|, ,5680,5680 ???? yx 106 8 0),56 8 0,56 8 0( ?? POP 故即 ,答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北 45176。 拋物線 經(jīng)典例題： 【解】 (1) 解方程組 481212 ???xyxy 得 2411 ????yx或 4822??yx 即 A(－ 4,－ 2),B(8,4), 從而 AB 的中點為 M(2,1).由 kAB==21 ,直線 AB 的垂直平分線方程 9 y－ 1=21(x－ 2). 令 y=－ 5, 得 x=5, ∴Q(5, － 5)． (2) 直線 OQ 的方程為 x+y=0, 設(shè) P(x, 81 x2－ 4).∵ 點 P 到直線 OQ的距離 d=2481 2?? xx =328281 2 ?? xx , 25?OQ ,∴S ΔOPQ =21 dOQ = 328165 2 ?? xx . ∵P 為拋物線上位于線段 AB 下方的點 , 且 P 不在直線 OQ 上 , ∴ － 4≤ x4 3 － 4或 4 3 － 4x≤8. ∵ 函數(shù) y=x2+8x－ 32在區(qū)間 [－ 4,8] 上單調(diào)遞增 , ∴ 當(dāng) x=8 時 , ΔOPQ 的面積取到最大值 30． 當(dāng)堂練習(xí)： 。 。 。 。 。 11. )42,81( ?。 13. )413,( ???。 15． [解析 ]：（ 1）由點 A（ 2， 8）在拋物線 pxy 22 ? 上，有 2282 ?? p ， 解得 p=16. 所以拋物線方程為 xy 322 ? ，焦點 F 的坐標(biāo)為（ 8， 0） . （ 2）如圖，由于 F（ 8， 0）是△ ABC的重心， M是 BC 的中點，所以 F 是線段 AM的 定比分點，且 2?FMAF ，設(shè)點 M 的坐標(biāo)為 ),( 00 yx ，則 021 28,821 22 00 ?????? yx ，解得 4,11 00 ??? yx ， 所以點 M 的坐標(biāo)為（ 11，－ 4）． （ 3）由于線段 BC 的中點 M 不在 x軸上，所以 BC 所在 的直線不垂直于 x 軸 .設(shè) BC 所在直線的方程為： ).0)(11(4 ???? kxky 由??? ? ??? xy xky 32 ),11(42消 x 得 0)411(32322 ???? kyky ， 所以 kyy 3221 ??，由（ 2）的結(jié)論得 42 21 ???yy ，解得 .4??k 因此 BC 所在直線的方程為： .0404 ???yx 16． [解析 ]： 設(shè)在拋物線 y=ax2－ 1 上關(guān)于直線 x+y=0 對稱的相異兩點為 P(x,y),Q(－ y,－ x)，則 ????? ??? ?? 1122ayxaxy ②① ，由 ① － ② 得 x+y=a(x+y)(x－ y),∵P 、 Q為相異 兩 點， ∴ x+y≠0 ，又 a≠0 ， ∴ a1y,1 ???? xayx 即 ，代入 ② 得 a2x2－ ax－ a+1=0，其判別式 △ =a2－ 4a2(1－ a)＞ 0，解得43?a ． 17． [解析 ]： 設(shè) R(x,y),∵F(0,1), ∴ 平行四邊形 FARB 的中心為 )21,2( ?yxC ， L:y=kx－ 1,代入拋物線方程得 x2－ 4kx+4=0, 設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則 x1+x2=4k,x1x2=4，且 △=16k 2－ 16＞ 0，即 |k|＞ 1 ① ， 244 2)(4 221221222121 ????????? kxxxxxxyy ， ∵C 為 AB 的中點 . 10 ∴ 1222 122222222????????kyyykxxx ? 3442??? ky kx， 消去 k 得 x2=4(y+3),由 ① 得， 4?x ，故動點 R 的軌跡方程為 x2=4(y+3)( 4?x )． 18． [解析 ]：（ 1）由題意設(shè)過點 M 的切線方程為： mxy ??2 ，代入 C得 0)27(22 ???? mxx，