【正文】 題 目： 氦原子基態(tài)能級的探討 作 者 屆 別 學 院 專 業(yè) 指導老師 職 稱 完成時間 2021 年 5 月 I 摘 要 本文主要研究氦原子的基態(tài)能級，通過應用雙參數(shù)變分法，選擇適當?shù)脑囂讲ê瘮?shù)，求出氦原子基態(tài)能級的能量，將其計算值與實驗值進行比較并分析了誤差，然后比較了用微擾法和變分法求出的 氦原子基態(tài)能量，通過比較，發(fā)現(xiàn)雙參數(shù)變分法的優(yōu)勢是顯而易見的。 關鍵詞 ：變分法；氦原子；基態(tài)能量 II Abstract In this paper, we mainly study the groundstate energy of the helium atom. By using the double parameters variational method, and selecting an appropriate test wave function, we calculate the helium atom groundstate energy and pare it with the experimental values. Then we pare the perturbation method result with the double parameters variational method result, and we find that the s uperiority of the double parameters variational method is obvious. Keyword: The variational method； Helium atoms； Groundstate energy III 目 錄 摘 要 I Abstract 1 引言 1 選題的依據(jù) 1 本文的主要研究內(nèi)容 2 第二章 變分法介紹 5 選取兩個參量的嘗試波函數(shù) 6 氦原子能量平均值的計算 17 一參變分法與二參變分法比較 17 變分法與微擾法比較 1 第一章 緒 論 引言 對氦原子基態(tài)能級的探討一般選用微擾法及變分法，本文重點討論變分法 對氦原子基態(tài)能級的求解。在量子力學教科書中，一般介紹的近似求解法是微擾法和變分法，而變分法中 選擇的嘗試波函數(shù)一般是一個參數(shù)型的，例如周世勛編《量子力學》、曾謹言著《量子力學教程》等介紹的便是用一個參數(shù)型的嘗試波函數(shù)變分法求氦原子體系基態(tài)能級 。在經(jīng)常遇見的許多問題中，由于體系的哈密頓算符比較復雜，往往不能求得精確的解，而只能求近似解。 用微擾法求氫原子和類氫離子是比較適合的，但是遇到比氫原子稍微復雜一點的氦原子時，微擾法就不及變分法容 易和求解精確。選用含二參數(shù)的嘗試波函數(shù)，這樣的模型相對于更多參數(shù)的波函數(shù)要簡單，又比一參變分法求解精確度高很多，這樣既有利于理解怎樣用變分法求基態(tài)能級，可適用于教學 ,又能求得比一參法更為精確的數(shù)值，因而具有重要的物理意義。變分法是解決氦原子和類氦原子的強有力工具，只要選擇合適的試探波函數(shù)，對于提高求解能級近似值有很大的幫助。 3 第二章 變分法介紹 變分法原理 已知量子力學中用微擾法求解問題的條件是體系 的哈密頓算符^H可以分為^H0和^H?兩部分： ^H= 0^+^H?， 其中 0^H的本征值與本征函數(shù)是已知的，而^?很小。因而在遇到^H?不是很小的情況下，就需要尋找另外的求解方法，量子力學中求解問題的又一種簡單方便的方法 —— 變分法的應用不受上述條件的限制。為簡單起見，我們假定^H的本征值 E n是分立的，本征函數(shù) n組成正交歸一系。 (6)式和 (7)式給 出： ?0E ??? dH?^* (8) 這個不等式說明，用任意波函數(shù) ?算出^H的平均值總是大于體系基態(tài)能量，而只有當 ?恰好是體系的基態(tài)波函數(shù) 0?時，^H的平均值才等于能量 0E。 畢業(yè)論文 5 變分法求體系基態(tài)能量的步驟 選取一個參量的嘗試波函數(shù) 選取含有一個參量 ?的嘗試波函數(shù) )(??代入 (5)式和 (9)式，算出平均能量 )(?H，然后由 0)( ???dHd (11) 求出 )(?H的最小值。 選取兩個參量的嘗試波函數(shù) 選取含有兩個參量 ?、 ?的嘗試波函數(shù) ),( ???代入 (5)式和 (9)式，算出平均能量),(?H，然后由 ????? ),(H=0， ????? ),(H=0 (12) 求出 ),( ??H的最小值，所得結果就是 0E的近似值 。 若波函數(shù)未歸一化，氦原子的基態(tài)能量可由下式計算得到： ^*0 *m inHdEd? ? ?? ? ?????? ?????? () 氦原子有一個原子核和兩個電子，它們都處于運動狀態(tài)。 為方便計算，采用原子單位 (其中能量單位為哈特利 ,即eVae ??)，氦原子體系的非相對論哈密頓算符可寫為： ^H = 21?(2221 ???) 12r?22r?+ 121 () 嘗試波函數(shù)的選擇 用變分法求近似解的關鍵在于選擇合適的嘗試波函數(shù)，嘗試波函數(shù)選得好，可以在很大程度上提高計算結果的精度。對于類氦離子 ,如果不考慮兩個電子相互排斥作用 ,則基態(tài)波函數(shù)為? ?12zr re??,二電子的最概然半徑皆為 1z,但若考慮兩電子的相互作用 ,利用單參數(shù)變分法求得基態(tài)近似波函數(shù)為[1,8]： 12( )( )z rre ??? ? (15) (15)式中 ?= ,由于排斥作用 ,兩個電子的最概然半徑增長到? ?1 z ??.我們認為這個模型仍然比較粗糙 ,二電子之間的關系考慮得不夠 ,現(xiàn)將試探波函數(shù)改進為如下形式：假如二電子可以區(qū)分即存在某種差別 ,我們設想由于二電子的徑向排斥作用 ,電子 1 的最概然半