【正文】 )(xThk 表示，可以規(guī)定為在其他條件不變的情況下要素 h 投入一個單位時所要求的要素 k 的投入量，即 hkhk xxxT ?)( 可以看出，邊際替代率 )(xMhk 、技術(shù)系數(shù) )(xThk 與貢獻系數(shù) )(xRhk 三者之間的關(guān)系如下 : )()()( xRxTxM hkhkhk ? 二、替代彈性及其對偶 為了進一步分析技術(shù)系數(shù)的變化情況，我們再引入替代彈性與貢獻彈性的概念。 2x 2x 2x 脊線 脊線 有效 脊線 脊線 投入?yún)^(qū) 有效投入?yún)^(qū) 有效投入?yún)^(qū) )(QL )(QL )(QL 脊線 1x 1x 1x (a) 固定技術(shù)系數(shù) (b) 完全可變技術(shù)系數(shù) (c) 部分可變技術(shù)系數(shù) 圖 62 技術(shù)系數(shù)與等產(chǎn)量曲線 第六章 理性生產(chǎn)者 132 (一 ) 替代彈性 替代彈性 是指技術(shù)系數(shù)的變化幅度與邊際替代率的變化幅度之比，反映技術(shù)系數(shù)對邊際替代率變化的敏感程度。在投 入方案 x 處，要素 h 對要素 k的替代彈性等于比值 )(xEShk ： )(ln )(ln)()( )()()( xMd xTdxMxdM xTxdTxES hkhkhkhk hkhkhk ?? 我們來看一下替代彈性的大小情況。 1. 無替代彈性 ： 0)( ?xEShk 此時，不論要素 h 對要素 k 的邊際替代率如何變化，技術(shù)系數(shù)總是不變的，因此這兩種要素不能相互替代，必須按照固定的比例投入使用，等產(chǎn)量曲線由兩條具有共同起點的分別平行于坐標軸的射線所構(gòu)成。 2. 弱替代彈性 ： 1)(0 ?? xEShk 此時，技術(shù)系數(shù)的變化幅度不如邊際替代率的變化幅度大，因而技術(shù)系數(shù)對邊際替代率變化的反應(yīng)不很敏感，等產(chǎn)量曲線的彎曲程度較大 (如圖 63(b)1L 所示 )。 4. 單一替代彈性 ： 1)( ?xEShk 此時，技術(shù)系數(shù)與邊際替代率以同樣的幅度變化，技術(shù)系數(shù)對邊際替代率變化的反應(yīng)敏感程度居中，等產(chǎn)量曲線的彎曲程度居中 (如圖 63(b)3L 所示 )。因此，邊際替代率為常數(shù)，等產(chǎn)量曲線為直線 (如圖 63(c)所示 )。嚴格地講，在投入方案 x 處，要素 h 對要素 k 的貢獻彈性是比值 )(xEChk ： )(ln )(ln)()( )()()( xRd xTdxRxdR xTxdTxEC hkhkhkhk hkhkhk ?? 貢獻彈性與替代彈性可以相互確定，即具有對偶性，其對偶公式為： kx kx kx 1L (弱 ) )(QL )(QL 2L (單一 ) 3L (強 ) hx hx hx (a) 無替代彈性 (b) 弱、單一、強替代彈性 (c) 完全替代彈性 圖 63 替代彈性與等產(chǎn)量曲線 第六章 理性生產(chǎn)者 133 )(11)(1 xECxES hkhk ?? 事實上，從 )()()( xRxTxM hkhkhk ? 可知 )(ln)(ln)(ln xRdxTdxMd hkhkhk ?? ，于是， )(11)(ln )(ln1)(ln )(ln)(ln)(ln )(ln)(1 xECxTd xRdxTd xRdxTdxTd xMdxES hkhkhkhk hkhkhkhkhk ??????? 為了方便記憶，貢獻彈性與替代彈性之間的對偶偶公式也可寫成： 1)(1)(1 ?? xECxES hkhk 第三節(jié) 齊次生產(chǎn)函數(shù) 生產(chǎn)函數(shù) RRf ???: 叫做是 ? 階 齊次函數(shù) ，是指 f 滿足如下條件：對任何投入向量 x 及任何實數(shù) 0?t ，都有 )()( xftxtf ?? 。 歐拉定理 (Euler). 如果生產(chǎn)函數(shù) RRf ???: 是 ? 階齊次函數(shù)并且可微，則對于任何投入向量 ????Rx ，都有 ? ? ?? ? 1 )()( h hh xfxxf? 。既然 )()( xftxtf ?? 對一切實數(shù) 0?t 都成立，那么在此式兩邊對 t 求導(dǎo)數(shù)就可得到 : ? ? )()()( 1 xftxftdtdxtfdtd ??? ?? ? 注意， ?? ???1 )()( h hh xxtfxtfdtd 。令 1?t ，即可得到 ?? ???1 )()( h hh xfxxf?。 歐拉定理說明，對于 ? 階齊次生產(chǎn)函數(shù)來說， ? 就是任何投入方案下全部生產(chǎn)要素的總貢獻，即全 部要素的總貢獻 )(x? 恒為常數(shù) ? 。ontief生產(chǎn)函數(shù) L232。設(shè)所有生產(chǎn)要素都必須按照固定的比例投入使用，這個固定比例為 ?? aaa ::: 21 。生產(chǎn)函數(shù) RRf ???: 便可寫成： ???????? ??? ?? axaxaxxxxfxf ,m i n),()( 221121 這就是 L232。 例 2. Cobb— Douglas生產(chǎn)函數(shù) Cobb— Douglas生產(chǎn)函數(shù)的形式是： ???? ?? ???? xxxAxAxxxfxf h h h 21 21121 ),()( ??? ?? )( ???Rx 其中 ?? ??? , 21A 都是正的常數(shù)， A 稱為技術(shù)進步系數(shù)?？梢钥闯觯? (1)f 是 ? 階齊次函數(shù)； (2) h? 是要素 h 的貢獻，即 )()()( xfxfxx hhhh ??? ?? ， ? 是全部要素的總貢獻； (3)f 是單調(diào)的，即對一切 ???Ryx, ，若 yx? ，則 )()( yfxf ? ； (4)f 是內(nèi)部強單調(diào)的，即對一切 ????Ryx, ，若 yx? ，則 )()( yfxf ? ； (5) 投入要素之間可以完全相互替代，因而技術(shù)系數(shù)完全可變； (6) 邊際替代率 ? ?? ?khhkhkkhhk xxxxxM ???? ?? )()()( ，貢獻系數(shù) khhk xR ???)( 為常數(shù)，技術(shù)系數(shù) hkhk xxxT ?)( ； (7) 貢獻彈性為無窮大，替代彈性單一。再根據(jù)替代彈性與貢獻彈性之間的對偶關(guān)系可知，替代彈性單一。 (1)f 是 ? 階齊次函數(shù)。 第四節(jié) 收益分析 生產(chǎn)者投入一定數(shù)量的若干生產(chǎn)要素后，所得到的一定數(shù)量的產(chǎn)品回報叫做生產(chǎn)者的報酬或生產(chǎn)收益。本節(jié)討論實物形態(tài)的報酬，即討論生產(chǎn)收益 (產(chǎn)品產(chǎn)量 )隨投入要素數(shù)量變化而變化的規(guī)律。 一、收益的短期變化規(guī)律 短期內(nèi)生產(chǎn)要素可分為兩類，一類是投入數(shù)量可變的生產(chǎn)要素 ，稱為可變要素，比如勞動、電力、燃料等消耗性要素；另一類是投入數(shù)量無法發(fā)生變動的要素，稱為不變要素或固定要素，比如土地、廠房、機器設(shè)備等固定資產(chǎn)。典型的做法，是去分析產(chǎn)量隨一種要素的數(shù)量變化而變化的規(guī)律。短期內(nèi)，生產(chǎn)收益的實物形態(tài)可分為總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量三種。假如投入向量為 x ，那么生產(chǎn)者得到的 )(xf 個單位的產(chǎn)品就是本次生產(chǎn)的總產(chǎn)量 TP ，因而生產(chǎn)函數(shù) )(xf 表達了總產(chǎn)量的變化規(guī)律： )()( xfxTPTP ?? 第六章 理性生產(chǎn)者 136 假定所考慮的這 ? 種生產(chǎn)要素都是生產(chǎn)必需的，缺一不可。這就是說，如果投入向量 x 有一個分量為零，那么就有 0)()( ?? xfxTP 。顯然，一種生產(chǎn)要素的平均產(chǎn)量同其他生產(chǎn)要素的當前投入量有關(guān)。在投入向量 x處，要素 h 的邊際產(chǎn)量就是生產(chǎn)函數(shù) f 在 x 處關(guān)于 hx 的偏導(dǎo)數(shù) )(xfh? , 記作 )(xMPh , 即 )()()( xfx xfxMPMP hhhh ?????? 邊際產(chǎn)量與平均產(chǎn)量都是單位投入的報酬， 但前者指當前情況下增加一單位投入將能創(chuàng)造的產(chǎn)品，后者則指整個生產(chǎn)過程中單位投入所帶來的產(chǎn)品，二者在量值上是不同的。 (二 ) 要素的貢獻 利用平均產(chǎn)量 (平均報酬 )和邊際產(chǎn)量 (邊際報酬 )，可以描述生產(chǎn)要素在生產(chǎn)中的貢獻。其中， )(xfh? 是要素 h 當前的邊際產(chǎn)量 )(xMPh ， )(xf 是當前的總產(chǎn)量。這是因為，要素 h 的投入量 hx 與其邊際產(chǎn)量 )(xMPh 的乘積可看成是要素 h 在本次生產(chǎn)中的“總產(chǎn)出”， )(xf 是全部要素的總產(chǎn)出，二者相除 便消除了量綱因素的影響。 (三 ) 短期收益的變化規(guī)律 1．各種收益之 間的關(guān)系 (1) 總產(chǎn)量與平均產(chǎn)量的關(guān)系 總產(chǎn)量是要素投入量與平均產(chǎn)量的乘積 (如圖 64(a)所示 )， 即 ),2,1()()( ???? hxAPxxTP hh (2) 總產(chǎn)量與邊際產(chǎn)量的關(guān)系 前面已經(jīng)說明，總產(chǎn)量是投入過程中諸邊際產(chǎn)量之總和。這樣，在平均產(chǎn)量曲線的最高點處，平均產(chǎn)量與邊際產(chǎn)量就要相等 (如圖 64(c)所示 )。事實上，從 )()( xAPxxTP hh? 可知hhhhhh xxAPxxAPx xTPxMP ??????? )()()()( ，從而可得到： hhhhh x xAPxMPx xAP )()()( ???? 注意， 0?hx 。 其實，邊際產(chǎn)量曲線通過平均產(chǎn)量曲線的最高點這一事實也具有客觀必然性。當生產(chǎn)進入第二階段以后，邊際產(chǎn)量下降。如果還不停止追加要素 h 的使用量，就要出現(xiàn)負的邊際產(chǎn)出，使生產(chǎn)進入邊際產(chǎn)出為負的無效生產(chǎn)階段 (第三階段 )。既然高于平均產(chǎn)量的邊際產(chǎn)量要把平均產(chǎn)量拉升，低于平均產(chǎn)量的邊際產(chǎn)量則把平均產(chǎn)量拉降，因此平均產(chǎn)量曲線也呈現(xiàn)倒Ｕ型，而且邊際產(chǎn)量曲線必然通過平均 產(chǎn)量曲 線的最高 點，即 在平均 產(chǎn)量曲 線的最 高點處， 0)( ??? hh xxAP ，從而)()( xAPxMP hh ? 。于是，平均產(chǎn)量曲線必然有最高點。我們看到，邊際產(chǎn)量雖在開始時刻呈現(xiàn)增加趨勢，但在投入增加到一定程度后，邊際產(chǎn)量必然 要隨投入的增加而減少，這就是 邊際收益遞減規(guī)律 。 Q Q Q hMP hMP )(xTP hAP )(xTP hAP hx hx hx (a) 總產(chǎn)量與平均產(chǎn)量 (b) 總產(chǎn)量與邊際產(chǎn)量 (c) 邊際產(chǎn)量與平均產(chǎn)量 圖 64 各種收益曲線之間的關(guān)系 第六章 理性生產(chǎn)者 138 在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，邊際收益遞減現(xiàn)象普遍存在。誰能想象不增加勞動，不改良品種，不改進生產(chǎn)條件