【正文】 圖 61 等產(chǎn)量曲線， 脊線 ，有效投入?yún)^(qū) 第六章 理性生產(chǎn)者 130 第二節(jié) 等產(chǎn)量曲線分析 要素空間 ??R 實(shí)質(zhì)上是一張等產(chǎn)量曲線圖，每種投入方案都在一條 (張 )等產(chǎn)量曲線 (面 )上，不同的等產(chǎn)量曲線互不相交。這樣，我們可用等產(chǎn)量曲線生產(chǎn)要素的投入使用情況進(jìn)行分析。設(shè)企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為 f ，同上一節(jié)一樣， )(QL 表示產(chǎn)量為 Q 的等產(chǎn)量曲線 (面 )。 一、替代與互補(bǔ) (一 ) 要素之間的替代性與互補(bǔ)性 不同投入組合之所以能在同一等產(chǎn)量曲線上，是因?yàn)橥度胍刂g具有一定的替代性與互補(bǔ)性。替 代性使得一種投入要素可用另一種投入要素來代替，互補(bǔ)性則要求要素之間必須按照一定的比例配合投入使用，因而要素之間具有比例特點(diǎn)。 有些要素之間既具有一定程度的互相替代性，又具有一定范圍的投入比例要求。利用等產(chǎn)量曲線我們可看出，兩種要素之間的替代范圍與比例要求范圍由這兩種要素的等產(chǎn)量曲線上的兩個脊點(diǎn)所劃定。 脊點(diǎn)所夾的范圍是可替代的范圍，超出該范圍就不能再有替代，這同時也說出了兩種要素之間的配合比例變化范圍。 對于兩種投入要素而言，當(dāng)兩條脊線分別與兩條坐標(biāo)軸重合時，這兩種要素就是可完全相互替代的，因而也就無特殊的 投入比例要求。當(dāng)兩條脊線重合時，要素之間完全無可替代性，而是必須要按固定不變的比例來組織投入使用。當(dāng)兩條脊線既不重合，又不分別都與坐標(biāo)軸重合時，這兩種要素之間就不但具有一定程度的替代性，也具有一定范圍的比例變化要求。由此可見，脊線所夾的范圍，即生產(chǎn)要素的有效投入?yún)^(qū)，刻畫了要素之間的替代性與比例性。 (二 ) 邊際替代率 當(dāng)兩種投入要素可以相互替代時，我們把一種要素的投入量減少 (增加 )一單位，為了保持產(chǎn)量不變，所需增加 (減少 )的另一種要素的投入量，稱為這兩種要素之間的 邊際替代率 。準(zhǔn)確地說，在投入方案 ???? Rxxxx ),( 處，要素 h 對要素 k 的邊際替代率，用 )(xMhk 表示，定義為：在除了要素 h 和 k 以外的其他要素投入都不變的情況下，要素 h 的投入量減少 (增加 )一單位時，為了保持產(chǎn)量水平不變，所需增加 (減少 )的要素 k 的投入量。為了準(zhǔn)確計(jì)算邊際替代率 )(xMhk ，設(shè)要素 h 的投入量的微小減少量為 hdx ，要素 k 的投入量的微小增加量為 kdx ，其他要素投入量未變，產(chǎn)量也沒有變化。于是，下面的全微分等式成立： 0)( ?????? kkhh dxfdxfxdfdQ 即)( )(xf xfdxdx khhk ???。注意，hkdxdx 就是要素 h 的投入減少一單位時要素 k 的投入的增加量，即是在 x 處的要素 h 對要素 k 的邊際替代率 )(xMhk 。于是，我們得到： )( )()( xf xfdxdxxM khhkhk ???? 根據(jù)上一節(jié)中的命題 2，在投入有效區(qū)內(nèi)的各點(diǎn)處任何兩 種要素之間的邊際替代率都是非負(fù)的。另外， 第六章 理性生產(chǎn)者 131 )()( )()(/)( )(/)()( )()( xRxxxxxxxfxfx xfxfxxxxf xfxM hkhkkhhkkk hhhkkhhk ???????? ?? 上式中， hk xx/ 表示要素 h 投入一單位時，要素 k 的相應(yīng)投入量。 )(xRhk 表示為了配合投入的一單位要素 k ，需要要素 h 作出的貢獻(xiàn)。這樣，乘積 hkhk Rxx )/( (即邊際替代率 )表達(dá)了一單位要素 h 所等同的要素 k 的貢獻(xiàn)，即從貢獻(xiàn)上講，一單位要素 h 所等同的要素 k 的數(shù)量。 (三 )技術(shù)系數(shù) 技術(shù)系數(shù) 是指企業(yè)生產(chǎn)一單位商品所需投入的各種生產(chǎn)要素的配合比例。當(dāng)生產(chǎn)要素可以相互替代時，技術(shù)系數(shù)就是可變的。當(dāng)生產(chǎn)要素不能相互替代時，技術(shù)系數(shù)就不可變。因此，技術(shù)系數(shù)可以是固定的、部分可變的、或者完全可 變的。 固定技術(shù)系數(shù) 是指技術(shù)系數(shù)根本不能變動。此時，生產(chǎn)要素之間完全不能相互替代，等產(chǎn)量曲線圖中脊線重合，并且一般情況下重合為直線，因而有效投入?yún)^(qū)就是該直線所表示的集合 (如圖 62(a)所示 )。 完全可變技術(shù)系數(shù) 是指技術(shù)系數(shù)可以任意變動。此時，等產(chǎn)量曲線圖中脊線分別與坐標(biāo)軸重合，要素之間可以完全相互替代 (如圖 62(b)所示 )。 部分可變技術(shù)系數(shù) 是指技術(shù)系數(shù)既不是完全可變，又不是固定不變，而是可以在一定范圍內(nèi)變化。此時，等產(chǎn)量曲線圖中脊線既不重合，也不分別與坐標(biāo)軸重合，在脊線所夾的范圍內(nèi)要素之間可以相互替代 (如 圖 62(c)所示 )。 叢數(shù)值上講，投入方案 x 處要素 h 對要素 k 的技術(shù)系數(shù)，用 )(xThk 表示，可以規(guī)定為在其他條件不變的情況下要素 h 投入一個單位時所要求的要素 k 的投入量，即 hkhk xxxT ?)( 可以看出，邊際替代率 )(xMhk 、技術(shù)系數(shù) )(xThk 與貢獻(xiàn)系數(shù) )(xRhk 三者之間的關(guān)系如下 : )()()( xRxTxM hkhkhk ? 二、替代彈性及其對偶 為了進(jìn)一步分析技術(shù)系數(shù)的變化情況，我們再引入替代彈性與貢獻(xiàn)彈性的概念。這兩種彈性之間具有一定的對偶性，即可以相互確定。 2x 2x 2x 脊線 脊線 有效 脊線 脊線 投入?yún)^(qū) 有效投入?yún)^(qū) 有效投入?yún)^(qū) )(QL )(QL )(QL 脊線 1x 1x 1x (a) 固定技術(shù)系數(shù) (b) 完全可變技術(shù)系數(shù) (c) 部分可變技術(shù)系數(shù) 圖 62 技術(shù)系數(shù)與等產(chǎn)量曲線 第六章 理性生產(chǎn)者 132 (一 ) 替代彈性 替代彈性 是指技術(shù)系數(shù)的變化幅度與邊際替代率的變化幅度之比，反映技術(shù)系數(shù)對邊際替代率變化的敏感程度。替代彈性可用公式嚴(yán)格表示如下。在投 入方案 x 處，要素 h 對要素 k的替代彈性等于比值 )(xEShk ： )(ln )(ln)()( )()()( xMd xTdxMxdM xTxdTxES hkhkhkhk hkhkhk ?? 我們來看一下替代彈性的大小情況。正常情況下，要素之間的邊際替代率是遞減的，即等產(chǎn)量曲線凸向元點(diǎn)，因而替代彈性非負(fù) (即技術(shù)系數(shù)與邊際替代率同向變動 )。 1. 無替代彈性 ： 0)( ?xEShk 此時，不論要素 h 對要素 k 的邊際替代率如何變化，技術(shù)系數(shù)總是不變的，因此這兩種要素不能相互替代，必須按照固定的比例投入使用，等產(chǎn)量曲線由兩條具有共同起點(diǎn)的分別平行于坐標(biāo)軸的射線所構(gòu)成。即等產(chǎn)量曲線強(qiáng)性彎曲，折成 90℃夾角 (如圖 63(a)所示 )。 2. 弱替代彈性 ： 1)(0 ?? xEShk 此時，技術(shù)系數(shù)的變化幅度不如邊際替代率的變化幅度大，因而技術(shù)系數(shù)對邊際替代率變化的反應(yīng)不很敏感，等產(chǎn)量曲線的彎曲程度較大 (如圖 63(b)1L 所示 )。 3. 強(qiáng)替代彈性 ： ??? )(1 xES hk 此時，技術(shù)系數(shù)的變化幅度比邊際替代率的變化幅度大，因而技術(shù)系數(shù)對邊際替代率變化的反應(yīng)很敏感，等產(chǎn)量曲線的彎曲程度較小 (如圖 63(b)2L 所示 )。 4. 單一替代彈性 ： 1)( ?xEShk 此時，技術(shù)系數(shù)與邊際替代率以同樣的幅度變化，技術(shù)系數(shù)對邊際替代率變化的反應(yīng)敏感程度居中，等產(chǎn)量曲線的彎曲程度居中 (如圖 63(b)3L 所示 )。 5. 完全替代彈性 ： ??)(xEShk 替代彈性為無限時，邊際替代率就不能有任何變動，因?yàn)檫呺H替代率的變動將引起技術(shù)系數(shù)的無限變動。因此，邊際替代率為常數(shù)，等產(chǎn)量曲線為直線 (如圖 63(c)所示 )。 (二 ) 貢獻(xiàn)彈性 貢獻(xiàn)彈性 指技術(shù)系數(shù)變化幅度與貢獻(xiàn)系數(shù)變化幅度之比，反映的是技術(shù)系數(shù)對貢獻(xiàn)系數(shù)變化的敏感程度。嚴(yán)格地講，在投入方案 x 處，要素 h 對要素 k 的貢獻(xiàn)彈性是比值 )(xEChk ： )(ln )(ln)()( )()()( xRd xTdxRxdR xTxdTxEC hkhkhkhk hkhkhk ?? 貢獻(xiàn)彈性與替代彈性可以相互確定，即具有對偶性，其對偶公式為： kx kx kx 1L (弱 ) )(QL )(QL 2L (單一 ) 3L (強(qiáng) ) hx hx hx (a) 無替代彈性 (b) 弱、單一、強(qiáng)替代彈性 (c) 完全替代彈性 圖 63 替代彈性與等產(chǎn)量曲線 第六章 理性生產(chǎn)者 133 )(11)(1 xECxES hkhk ?? 事實(shí)上，從 )()()( xRxTxM hkhkhk ? 可知 )(ln)(ln)(ln xRdxTdxMd hkhkhk ?? ，于是， )(11)(ln )(ln1)(ln )(ln)(ln)(ln )(ln)(1 xECxTd xRdxTd xRdxTdxTd xMdxES hkhkhkhk hkhkhkhkhk ??????? 為了方便記憶，貢獻(xiàn)彈性與替代彈性之間的對偶偶公式也可寫成： 1)(1)(1 ?? xECxES hkhk 第三節(jié) 齊次生產(chǎn)函數(shù) 生產(chǎn)函數(shù) RRf ???: 叫做是 ? 階 齊次函數(shù) ，是指 f 滿足如下條件：對任何投入向量 x 及任何實(shí)數(shù) 0?t ，都有 )()( xftxtf ?? 。其中的這個數(shù) ? 叫做齊次函數(shù) f 的 階數(shù) 。 歐拉定理 (Euler). 如果生產(chǎn)函數(shù) RRf ???: 是 ? 階齊次函數(shù)并且可微，則對于任何投入向量 ????Rx ，都有 ? ? ?? ? 1 )()( h hh xfxxf? 。 證明 : 設(shè) ????Rx 任意給出。既然 )()( xftxtf ?? 對一切實(shí)數(shù) 0?t 都成立，那么在此式兩邊對 t 求導(dǎo)數(shù)就可得到 : ? ? )()()( 1 xftxftdtdxtfdtd ??? ?? ? 注意， ?? ???1 )()( h hh xxtfxtfdtd 。于是， ??? ???11 )()( h hh xxtfxft??對一切 0?t 成立，當(dāng)然對1?t 也就成立。令 1?t ，即可得到 ?? ???1 )()( h hh xfxxf?。歐拉定理得證。 歐拉定理說明，對于 ? 階齊次生產(chǎn)函數(shù)來說， ? 就是任何投入方案下全部生產(chǎn)要素的總貢獻(xiàn)，即全 部要素的總貢獻(xiàn) )(x? 恒為常數(shù) ? 。 例 1. L232。ontief生產(chǎn)函數(shù) L232。ontief 生產(chǎn)函數(shù)是一種固定技術(shù)系數(shù)生產(chǎn)函數(shù)。設(shè)所有生產(chǎn)要素都必須按照固定的比例投入使用，這個固定比例為 ?? aaa ::: 21 。于是，生產(chǎn)一單位產(chǎn)品所必需的投入向量是0),( 21 ??? ?? aaaa 。生產(chǎn)函數(shù) RRf ???: 便可寫成： ???????? ??? ?? axaxaxxxxfxf ,m i n),()( 221121 這就是 L232。ontief生產(chǎn)函數(shù)的形式，顯然這種形式的生產(chǎn)函數(shù)具有下面一些性質(zhì)： (1)f 是嚴(yán)格單調(diào)的，即對一切 ???Ryx, ，若 yx?? ，則 )()( yfxf ? ；