【正文】 ,使得 CTAC 為對角 矩 陣 ,相當于 對 A 同時 作若干次同種形式的初等行變換和初等列變換后 將 A 化為對角矩陣 .具體步驟如下： (1) 先寫出二次型的矩陣 A,構造矩陣 ? ?|AE ； (2) 對 ? ?|AE 進行初等行變換 ,再對 A 進行同樣的初等列變換 ,當子塊 A 化為對角矩陣 D 時 ,子塊 E 也相應地化為 CT； (3) 寫出非退化線性替換 x ??Cy 及二次型的標準形 f ??yTDy. 例 10 化二次型 ? ? 2 2 21 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 4 4 5 8 5f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?， ， 為標準形 ,并寫出所用 可逆變換 的 矩陣 . 解 : 寫出此二次型的矩陣 A 與三階單位矩陣 E, 2 2 22 5 42 4 5???????????Α , 1 0 00 1 00 0 1?????????Ε 第 12 頁 對構造矩陣 ? ? 2 2 2 1 0 02 5 4 0 1 02 4 5 0 0 1???????????Α Ε 進行初等變換 ,過程簡化寫法表示為 ? ? 2 1 3 12 1 3 132322 2 2 1 0 0 2 0 2 1 0 02 5 4 0 1 0 0 3 2 1 1 02 4 5 0 0 1 2 2 5 0 0 12 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0230 3 2 1 1 0 0 3 0 1 1 0230 2 3 1 0 1 0 0 5 3 1 3 2 3 1r r r rc c c crrcc??? ? ? ???? ? ? ?? ? ????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?????? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?　 　 　 　　 　 　 　　Α Ε 作非退化的線性替換 1122331 1 1 30 1 2 30 0 1xy?? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?　 　 ,得標準形為 ? ? 2 2 21 2 3 1 2 3 2 3 5 3f x x x y y y? ? ?, . 變換矩陣為 1 1 1 30 1 2 30 0 1????????　 　C . 求向量空間中向量在一組基下的坐標 設 V 是 n 維向量空間 ,V 中有 n 個線性無關 的 向量 12 n? ? ?， ， ， ,稱為 V 的一組基 .設 ?是 V中的任一向量 ,則 12 n? ? ?， ， ， 線性無關 ,于是 ? 可由 12 n? ? ?， ， ， 唯一地線性表示出 : 1 1 2 2 nna a a? ? ? ?? ? ? ? () 稱系數(shù) 12 na a a， ， ， 為 ? 在基 12 n? ? ?， ， ， 下的坐標 ,記為 12()na a a， ， ， 例 11 設三維向量空間的一組基底為 1 2 3( 1 1 0) ( 1 0 1 ) ( 0 1 1 )? ? ?? ? ?　 　 　， ， ， ， ， ， ， ，,求向量(2 0 0)?? ， ， ,在此基下的坐標 . 解 : 以 1 2 3? ? ? ?　， ， ， ,為列構成矩陣 A,并對它施行初等行變換 , 1 1 0 2 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 10 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 2 0 0 1 1? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?A 所以 ,??在基 1 2 3? ? ?　 　， ， 下的坐標就是 (1,1,?1). 求從一組基到另一組基的過渡矩陣 設 12 n? ? ?， ， ， 和 12 n? ? ?　 　， ， ， 　 為 V 的兩組基 ,且 ? ? ? ?1 2 1 2nn? ? ? ? ? ?? Α　 　 　， ， ， 　 ， ， ， () 第 13 頁 則稱 A 為從基 12 n? ? ?， ， ， 到基 12 n? ? ?　 　， ， ， 　 的過渡矩陣 ,A?1是基 12 n? ? ?　 　， ， ， 　 到 12 n? ? ?， ， ，的過渡矩陣 . 例 12 設 1 2 3 1 2 3? ? ? ? ? ?　 ， 　 ， 　 ， 　 ， 　 ， 　是 三 維向量空間 V 的兩組基 , Τ Τ Τ Τ Τ T1 2 3 1 2 3( 1 1 1 ) ( 1 0 1 ) ( 1 0 1 ) ( 1 2 1 ) ( 2 3 4 ) ( 3 4 3 )? ? ? ? ? ? ?　 　 　 　 　 　， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，? ? ? ? ? ?, 求由基 1 2 3? ? ?　 ， 　 ， 　 到基 1 2 3? ? ?　 ， 　 ， 　 的過渡矩陣 . 解 : 設此過渡矩陣為 P,則以 1 2 3 1 2 3　 　 　 　 　 　， ， ， ， ，? ? ? ? ? ?,為列構成矩陣 M,對 M作初等行變換 ,使它化為如下形狀 : 1 2 2 1313 2 2 31 1 1 1 2 3 1 0 0 2 3 41 0 0 2 3 4 1 1 1 1 2 31 1 1 1 4 3 1 1 1 1 4 31 0 0 2 3 4 1 0 0 2 3 40 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 0 0 2 2 0 20 0 2 3 40 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1r r r rrrr r r r? ? ? ???? ? ? ?? ????? ?????? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ?Μ　　 　 　3 2 2 31321 0 0 2 3 40 1 1 1 1 10 0 2 2 0 21 0 0 2 3 4 1 0 0 2 3 40 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 00 0 2 2 0 2 0 0 1 1 0 1r r r rr? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ???? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 所以 ,從基 1 2 3? ? ?　 ， 　 ， 　 到基 1 2 3? ? ?　 ， 　 ， 　 的過渡矩陣為 2340 1 01 0 1??????????P . 求一個向量生成的子空間的基與維數(shù) 記由向量組 12 m? ? ?　 　， ， ， 生成的子空間為 12()m? ? ?L 　 　 　， ， ， 　,以 12 m? ? ?　 　， ， ， 為列構成矩陣 A,對 A 作 初等行變換使其化為行階梯 形矩陣 B,由 B 可求出向量組 12 m? ? ?　 　， ， ， 的秩和一個極大線性無關組 12i i ir? ? ??　 , 　 , 　,則極大無關組 12i i ir? ? ??　 , 　 , 　,即為子空間的基 ,子空間 12()m? ? ?L 　 　 　， ， ， 　的維數(shù)等于向量組 12 m　 　， ， ，? ? ? 的秩 . 例 13 在 R3中 ,求由向量 ? ?1 2 3 4i i? ?　 , , ,生成的子空間 1 2 3 4( )L , , ,? ? ? ?的基與維數(shù) ,其中 , Τ Τ Τ Τ1 2 3 4( 3 3 3 ) ( 2 1 5 ) ( 5 3 1 3 ) ( 4 3 1 1 )? ? ? ? ? ? ? ?　 　 　 　， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，? ? ? ?. 解 : 以向量 1 2 3 4? ? ? ?， ， ， 為列構成矩陣 A,對 A 施行初等行變換 ,使其化為行階梯形 第 14 頁 2 1 3 2311 2 123 2 5 4 3 2 5 4 3 2 5 43 1 3 3 0 3 8 7 0 3 8 73 5 13 11 0 3 8 7 0 0 0 03 0 1 3 2 3 1 0 1 9 2 92 1 30 1 8 3 7 3 0 1 8 3 7 3130 0 0 0 0 0 0 0r r r rrrr r rr? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?ΑΒ　 　 　 　　 　　 　 　　 由矩陣 B 可知 , 12,??是向量組 1 2 3 4? ? ? ?， ， ， 的極大無關組 ,所以 1 2 3 4dim ( ) 2? ? ? ? ?L , , , 12,??是 1 2 3 4( )? ? ? ?L , , ,的一組基 . 求兩個子空間的和與交的維數(shù) 在 Rm 中設 ? ? ? ?1 1 2 2 1 2stWW? ? ? ? ? ???LL　 　， ， ， , ， ， ，,要計算 12WW? 與 12WW的維數(shù) .先以所有向量為列構造矩陣 ? ?1 2 1 2st? ? ? ? ? ??A 　 　 　 　, , , , , , ,利用初等行變換 求 矩陣 列向量組的極大無關組 ,從而得到 12WW? 的一個基 ,基中向量 的 個數(shù)即為 12WW? 的維數(shù) .再由公式 1 2 1 2 1 2d im ( ) d im ( ) d im ( ) d im (