【正文】 b，b線性無關(guān)（3分）232)證明：因為A為正交陣，故A=177。3247。247。248。0,∴K可逆（2分）247。247。0232。設K=2231。230。3231。1231。248。247。247。所以l=i2時對應的特征向量為C22i2(C2185。231。230。0247。247。i+3248。4247。1i+10010246。02248。247。0247。231。230。1+i232。0231。1231。1232。l=i2時，AlE=0231。230。232。231。0)(3分）231。247。0246。248。2247。0100246。00248。247。0247。231。230。1232。當l=1，EA=0231。七題、解答題 [教師答題時間：10 分鐘]（共12分）l+3解：lE－ A=012124l+10l1=(l1)(l+4l+5)(2分）所以A的特征值為l1=1,l2=l3=i2(2分）230。232。232。231。231。231?！嗤ń鉃閤=c1(2分），故基礎解系為c1(2分）231。231。231。230。230。0247。247。248。1(2分）247。2102246。231。1231。248。247。247。0232。0231。1231。5232。A=3231。3時，線性方程組有唯一解（2分）當l＝0時，線性方程組有無窮解（2分）六題、解答題 [教師答題時間： 5 分鐘]（共10分）230。l2∴當l＝－3時，線性方程組無解（2分）當l185。(4分）2l(l+2l1)247。247。247。0247。11+lll(l+3)11+l11+l112l246。0231。174。230。1231。1231。4247。247。1247。247。4247。247。4247。247。231。231。解：?231。2桫驏1瓏瓏?瓏0瓏瓏瓏瓏0桫驏1231。231。1231。231。2248。247。0232。231。247。14246。(3分）5248。02201110121246。2248。247。230。232。1174。232。第一篇：2006~2007線性代數(shù)試題1答案一、選擇題： [教師答題時間：2 分鐘]（每小題 3 分，共 12分）①A ②D③A④B二、填空題： [教師答題時間：4分鐘]（每空 3分，共 12 分）① 5② 線性相關(guān)③ 0④8三、計算題 [教師答題時間： 6 分鐘]（共16分）aDn=bMbbaMb......OL1bbMabaMbbabM0n1a+(n1)b=a+(n1)bMa+(n1)b......OLbb（4分）Ma......OLb0MbaMb......OLbbMa解: =[a+(n1)b]1M11＝[a+(n1)b]0M0（2分）ab＝[a+(n1)b](ab)（2分）230。1解：A=231。3230。231。0022401121246。1174。231。232。247。230。231。(3分）174。5248。 4246。5(2分）247。四、綜合題 [教師答題時間： 7 分鐘]（共15分）驏1231。(a1,a2,a3,a4)=231。231。231。231。0231。231。0桫1280100011101161222247。247。(2分）247。247。12011422(2分）16驏2鼢1鼢鼢2鼢(2分）?0鼢鼢鼢8鼢0桫3247。247。(2分）247。247。所以極大無關(guān)組是a1,a2,a3(2分）a4=3a1a24a3(5分）五題、綜合題 [教師答題時間： 8 分鐘]（共10分）230。解:(A,b)=231。1+l232。1231。231。0232。l247。248。l0246。l(1l)247。248。0且l185。1231。231。230。174。231。0102532246。5(2分）174。3247。230。0231。0232。247。0247。0246。1(2分）247。248。0246。0246。247。247。247。247。1247。1247。248。248。4231。231。1202246。1247。4174。231。231。232。247。0247。230。231。所以l=1對應的特征向量為C12(C1185。247。1247。248。1i231。231。230。174。231。0i11i3246。1247。4174。231。231。232。247。247。2i3246。2i+2247。248。i+3246。247。0)(3分）231。231。1232。顯然A不能相似對角化(2分）八題、證明題 [教師答題時間： 7 分鐘]（共13分）230。1)證明：（b1，b，b）＝（a，a，a）22312231。0232。1231。231。0231246。0,顯然K185。3247。0231246。0（2分）247。248。1,而A0，∴A=1(2分）E＋A＝AA＋A=AA＋E=AA＋E=E＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT第二篇：05062線性代數(shù)試題A答案1二、求矩陣230。231。0231。0232。247。3247。2247。的逆陣（10分）解設5A=230。2232。, 230。1247。232。2分2247。1則1, 83=230。6分 52246。12246。231。247。58247。231。231。232。232。232。232。于是230。2231。0232。230。10247。A246。A1246。2500247。231。247。231。232。232。231。2247。232。110分三、T設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3, 已知h1, h2, h3T是它的三個解向量. 且 h1=(2, 3, 4, 5), h2+h3=(1, 2, 3, 4),求該方程組的通解.（12分）解：由于方程組中未知數(shù)的個數(shù)是4, 系數(shù)矩陣的秩為3, 所以對應的齊次線性方程組的基礎解系含有一個向量,且由于h1, h2, h3均為方程組的解, 由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得2h1(h2+h3)=(h1h2)+(h1h3)=(3, 4, 5, 6)T為其基礎解系向量10分故此方程組的通解為：x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T,(k206。111246。111246。100247。100247。111247。111247。248。248。111246。123246。123246。247。247。247。100247。234247。143247。111247。143247。248。248。248。100247。234247。010247。111247。143247。101247。248。248。248。239。x1+lx2+x3=l2239。x1+x2+lx3=l解.6分 230。11ll2r231。230。B=1l1l~ 0l11ll(1l)247。11ll2247。232。232。(1)要使方程組有唯一解, 必須R(A)=3. 因此當l185。(2)要使方程組無解, 必須R(A)R(B), 故(1l)(2+l)=0,(1l)(l+1)2185。111246。231。(a1, a2, a3)=231。231。232。解：(1)以所給向量為列向量的矩陣記為A. 因為230。r230。r230。6分A=231。~231。~231。231。231。231。232。232。232。所以R(A)=2小于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相關(guān)8分（2）根據(jù)施密特正交化方法,230。1246。[b1,a3][b2,a3]1230。b1=a1=231。231。231。b=abb=2b2=a2b1=03312231。231。[b,b][b,b]3231。[b1,b1]1122232。232。232。七、已知3階矩陣A的特征值為1,2,3, 求A35A2+7A.（10分）解令j(l)=l35l2+7l,2分 則j(1)=13, j(2)=2, j(3)=3是j(A)的特征值,6分 故 |A35A2+7A|=|j(A)|=j(1)j(2)j(3)=13180。3=求一個正交變換將二次型解二次型的矩陣為f(x1,x2,x3)=2x1+3x2+3x3+4x2x3化成標準形（15分）222由 230。2分 A=231。231。232。 2l00AlE=03l2=(2l)(5l)(1l)023l得A的特征值為l1=2, l2=5, l3=15分當l1=2時, 解方程(A2E)x=0, 由,230。230。A2E=231。~231。231。231。232。232。得特征向量(1, 0, 0)T. 取p1=(1, 0, 0)T7分當l2=5時, 解方程(A5E)x=0, 由230