【正文】 UF2)=CF1ICF2反之，若Q206。P206。CF1且P206。F2222。P207。P207。CE的每個點都是CE的內(nèi)點，、證明：(1)若F1，F(xiàn)2是閉集，則F1UF2與F1IF2都是閉集證：先證：C(F1UF2)=CF1ICF2；C(F1IF2)=CF1UCF2若P206。CE222?？偞嬖赑的某個鄰域U(P，d)，使U(P，d)IE=f222。CE，即P207。(2)若E是閉集222。點P有U(P，d)，從而也是CE的聚點；若P是E的界點，那么P同時也是CE的界點222。E且不為E的界點，若$d0，使U(P，d)199。證：(1)若E是開集222。證明：開集與閉集具有對偶性若E是開集，則CE是閉集；若E是閉集，則CE是開集。(2k+1)p,k=0,1,2,L} 是閉集，但不是區(qū)域.(7)f(x,y)=ln(yx)解：定義域D={(x,y)|yx}，是開集，也是開域.(8)f(x,y)=e(x2+y2)2解：定義域D=R,是開集，又是閉集，是閉域又是開域.(9)f(x,y,z)=zx2+y2+1解：定義域D=R2，是開集也是閉集，是開域又是閉域.（10）f(x,y,z)=R2x2y2z2+1x+y+zr2222(Rr)22222解：定義域{(x,y,z)rx+y+z163。(6)f(x,y)=sin(x2+y2)解：定義域D={(x,y)2kp163。(5)f(x,y)=lnx+lny解：定義域D={(x,y)|x0,y0},是開集，也是開域。1},是閉集，但不是區(qū)域。(4)f(x,y)=1x2+y21解：定義域D={(x,y)|x163。0},是開集。x},是開集，但不是開域，圖略。x2+y2(1)f(x,y)=2xy2定義域D={(x,y)|y185。2arctan(1+31+3)=234。249。249。,求f(,)arctan(x+y)249。165。當(dāng)nN時，就有xnx0ee,yny0221212e+e=e，22這時r(Pn,P0)=(xnx0)2+(yny0)2即Pn206。n174。N+n174?！俺浞中浴?，若limxn=x0，limyn=y0222。r(Pn,P0)e，即limyn=y0n174。165。即 r(Pn,P0)=(xnx0)2+(yny0)2e推得xnx0163。U(P0,e)n174。e0,$N206。165。165。E1185。3}這里E的一切點都是聚點，且是E的全部聚點，所以E是閉集，然而E中的開域是E1={(x,y)|x2+y21}及dE1={(x,y)|x2+y2=1}且E1200。1或y=0,2163。P一定是聚點()若P是一界點222。E()若是開域中一點222。U0(P0,e)(P2,P0)證明：閉域必為閉集，舉例說明反之不真。對e1=1,$P1206。當(dāng)nN時，有Pn206。N+n174。y163。2}(8){(x,y)|x,y均為整數(shù)}解：是閉集，界點集{(x,y)|x,y均為整數(shù)}1(9){(x,y)|y=sin,x0}x1解：是閉集，聚點E={(x,y)|y=sin,x0}200。2}，dE={(x,y)|x2+y2=1,y=0,1163。1或y=0,1163。x163。1},界點：dE=E(7){(x,y)|x2+y2163。1}解：是閉集，有界點集，聚點：E={(x,y)|x2+y2=1y=0,0163。2}(6){(x,y)|x2+y2=1,y=0,0163。{(x,y)|x+y=2,0163。x163。2}200。2}界點集：{(x,y)|x=2,0163。2,y163。0}解：是開集，聚點：E=R2,界點：{(x,y)|xy=0}(3){(x,y)|xy=0}解：是閉集，聚點：E={(x,y)|xy=0}(4){(x,y)|yx2}解：是開集，區(qū)域，聚點：E={(x,y)|y179。x163。y163。[a,b]180。(1)[a,b)180。第一篇：第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)167。1平面點集與多元函數(shù)判斷下列平面點集中哪些是開集、閉集、有界集、區(qū)域？并區(qū)分它們的聚點與界點？分析：由定義結(jié)合圖形直接得。[c,d)解：是有界集，區(qū)域，聚點：E={(x,y)|(x,y)206。[c,d]}界點：dE={(x,y)|(a,y),(b,y),c163。d或(x,c),(x,d),a163。b}(2){(x,y)|xy185。x2}，界點集：{(x,y)|y=x2}(5){(x,y)|x2,y2,x+y2}解：是開集，有界集，區(qū)域，聚點：E={(x,y)|x163。2,x+y179。y163。{(x,y)|y=2,0163。2}200。x163。x163。x163。1或y=0,1163。2}解：是閉集，有界集，聚點：E={(x,y)|x2+y2163。x163。x163。x{(0,y)|1163。1},dE=E試問集合{(x,y)|0分析：畫出它們表示的圖形即可知結(jié)論，{(x,y)|0解：不相同，因為點集E1={(x,y)|x=a,00,$N206。165。U0(P0,e)，若P0是E的聚點222。U0(P0,e)=min{,r(P0,P1)}，則$P2206。證：若D是閉域，由于閉是開域連同其邊界所成點集，故對任意一點P206。P是一內(nèi)點222。P同樣也是D的聚點(因為開域的邊界上的界點是非弧上點)從而推得D上一切點都是D的聚點，所以D是閉集反之不真：如E={(x,y)|x2+y2163。x163。182。E，所以E不是閉域證明：點列{Pn(xn,yn)}收斂于P0(x0,y0)的充要條件是limxn=x0和limyn=y0n174。n174。證：“必要性”，若limPn=P0222。N+,當(dāng)nN時，就有Pn206。165。r(Pn,P0)e，即limxn=x0n174。yny0163。165。對e0,$N206。165。165。U(P0,e),所以limPn=P0n174。求下列各函數(shù)的函數(shù)值1+313233。(1)，f(x,y)=234。arctan(xy)22235。 2xyy(2)f(x,y)=2,求f(1,).x+y2xx(3)f(x,y)=x2+y2xyarctan,求f(tx,ty).y21233。2arctan(1+3+13)234。1+313arctan19233。2解:(1)f(,)=234。=16122arctan3235。234。235。2g1gyyx=2xy(2):f(1,)=x12+(y)2x2+y2xtxx(3)f(tx,ty)=(tx)2+(ty)2(tx)(ty)arctan=t2(x2+y2xyarctan)tyy2設(shè)F(x,y)=lnxlny，證明：若u0,v0，則 F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)證：右式=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=(lnx+lny)lnu+(lnx+lny)lnv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxylnuv=左式求下列各函數(shù)的定義域，畫出定義的圖形，并說明是何種點集。177。(2)f(x,y)=12x2+3y2解：定義域D={(x,y)|2x2+3y2185。(3)f(x,y)=xy解：定義域D={(x,y)|xy0},是閉集。1,y179。圖略。圖略。x2+y2163。R}不是開集，也不是閉集，是有界集。分析：由開、閉集的定義。P207。E=f222。P是CE的聚點。對P206。E，則P不是E的聚點222。U(P，d)206。P是CE的內(nèi)點222。C(F1UF2)222。(F1UF2)222。F1且P207。P206。CF2222。CF1ICF2)222。CF1ICF2222。CF1且Q206。Q207。F2Q207。Q206。C(F1UF2)=CF