【正文】 q在q=37p4時為０，此時無界）。165。165。0y174。0y174。x+yx2xy+ysinxyx2。y174。例：limx174。y其它y=0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。238。0,例：f(x,y)=237。236。例：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)=xyx2+y22，討論在點(diǎn)(0,0)的的二重極限。M0時，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。M0的極限是A；反之，M以任何方式及任何點(diǎn)列趨于M0時，f(M)的極限是A。M0 )。M(M)=A或f(M)174。(x0,y0)時，有f0f(x,y)Ae，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。M02定義的等價敘述2 設(shè)E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f(M)=f(x,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)206。M0)。記為limf(M)=A或f(M)174。M02定義的等價敘述1 設(shè)E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f(M)=f(x,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)206。M0)。記為limf(M)=A或f(M)174。二 多元函數(shù)的極限2定義2設(shè)E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f(M)=f(x,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)206。R}。例如，二元函數(shù)x=R22x2y2就是一個上半球面，球心在原點(diǎn)，半徑為R，此函數(shù)定義域?yàn)闈M足關(guān)系式x+y163。2一般地，有下面定義：定義1 設(shè)E是R的一個子集，R是實(shí)數(shù)集，f是一個規(guī)律，如果對E中的每一點(diǎn)(x,y)，通過規(guī)律f，在R中有唯一的一個u與此對應(yīng)，則稱f是定義在E上的一個二元函數(shù)，它在點(diǎn)(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u=f(x,y)。圓柱體體積V由底半徑r和高h(yuǎn)所決定,即V=prh。2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)一 多元函數(shù)的概念不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實(shí)際問題中，許多量的變化，不只由一個因素決定，而是由多個因素決定。N4．收斂原理：平面點(diǎn)列{Mn}有極限的充分必要條件是：對任何給定的e0，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n,m時，有r(Mn,Mm)e。：若一開矩形集合{D}={axb,gyd}覆蓋一有界閉區(qū)域。0，那么存在唯一的點(diǎn)屬于所有的矩形。dn}是矩形序列，其中每一個矩形都含在前一個矩形中，并且131《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案bnan174。bn,163。三平面點(diǎn)集的幾個基本定理1．矩形套定理：設(shè){an163。7． 區(qū)域：設(shè)E是一個開集，并且E中任何兩點(diǎn)M1和M2之間都可以用有限條直線段所組成的折線連接起來，而這條折線全部含在E中，就稱E是區(qū)域。性質(zhì)：設(shè)M0是E的聚點(diǎn)，則在E中存在一個點(diǎn)列{Mn}以M0為極限。4． 開集：如果E的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，就稱E是開集。3． 邊界點(diǎn)：設(shè)M*是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對M*的任何e鄰域O(M*,e)，其中既有E的點(diǎn)，又有非E中的點(diǎn)，就稱M*是E的邊界點(diǎn)。E，如果存在M1的一個h鄰域O(M1,h)，使得O(M1,h)199。E，就稱M0是E的內(nèi)點(diǎn)。1． 內(nèi)點(diǎn)：設(shè)M0206。（2）若{Mn}收斂，則它只有一個極限，即極限是唯一的。x0,yn174。(x0,y0)219。)。(x0,y0)(n174。165。O(M0,e)。定義2 設(shè)Mn=(xn,yn)，M0=(x0,y0)。第一篇：第十三章多元函數(shù)的極限和連續(xù)性《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案第十三章 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性167。平面點(diǎn)集一 鄰域、點(diǎn)列的極限定義1 在平面上固定一點(diǎn)M0(x0,y0)，凡是與M0的距離小于e的那些點(diǎn)M組成的平面點(diǎn)集，叫做M0的e鄰域，記為O(M0,e)。如果對M0的任何一個e鄰域O(M0,e)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)nN時，有Mn206。就稱點(diǎn)列{Mn}收斂，并且收斂于M0，記為limMn174。n=M0或(xn,yn)174。165。性質(zhì)：（1）(xn,yn)174。xn174。y0。二 開集、閉集、區(qū)域設(shè)E是一個平面點(diǎn)集。E，如果存在M0的一個d鄰域O(M0,d)，使得O(M0,d)204。2． 外點(diǎn)：設(shè)M1207。E=F，就稱M1是E的外點(diǎn)。E的邊界點(diǎn)全體叫做E的邊界。5． 聚點(diǎn)：設(shè)M*是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對M*的任何e鄰域O(M*,e)，至少含有E中一個（不等于M*的）點(diǎn)，就稱M*是E的聚點(diǎn)。6． 閉集：設(shè)E的所有聚點(diǎn)都在E內(nèi)，就稱E是閉集。一個區(qū)域加上它的邊界就是一個閉區(qū)域。x163。y163。0，dn174。：如果序列{Mn(xn,yn)}有界，那么從其中必能選取收斂的子列。那么從{D}里，必可選出有限個開矩形，他們也能覆蓋這個區(qū)域。167。例如平行四邊行的面積A由它的相鄰兩邊的長x和寬y以及夾角q所確定,即A=xysinq。這些都是多元函數(shù)的例子。有時，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。R222222的x，y全體，即D={(x,y)|x+y163。又如，Z=xy是馬鞍面。E附近有定義．如果e0，$d0，當(dāng)0r(M,M0)d時，有f(M)Ae，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。A(M174。M174。E附近有定義．如果e0，$d0，當(dāng)0(xx0)+(yy0)d時，有f(x,y)Ae，就稱A是132《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。A(M174。M174。E附近有定義．如果e0，$d0，當(dāng)0xx0d,0yy0d且(x,y)185。記為limM174。A(M174。注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(M)=A，則當(dāng)M以任何點(diǎn)列及任何方式趨于M0時，f(M)M174。但若M在某一點(diǎn)列或沿某一曲線174。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。例：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)=2xyx2+y或2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限是否存在。239。239。1,x163。二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。165。165。例：① limx174。0② lim(x+y)ln(x+y)③ lim(x+y)ex174。0x174。y174。2222222(x+y)例：求f(x,y)=xy3223x+y在（０，０）點(diǎn)的極限，若用極坐標(biāo)替換則為limrr174。xyx22例：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)=+y2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限．證明二元極限不存在的方法．基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說明極限與輻角有關(guān)． 例：f(x,y)=xyx2+y2在(0,0)的二重極限不存在．133《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案三二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)f(M)在M0點(diǎn)有定義，如果limf(M)=f(M0)，則稱f(M)在M0點(diǎn)連續(xù)．M174。一致連續(xù)性定理若f(x,y)再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。nP0