第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)精選五篇-在線瀏覽
2024-11-08 12:01本頁面
【正文】 1ICF2故C(F1UF2)=(F1IF2)=CF1UCF2由于F1，F(xiàn)2是閉集，由習(xí)題9知，CF1，CF2是開集222。C(F1UF2)222。CF1ICF2222。CF1且$d2(P，d2)204。U(P，min{d1，d2})204。C(F1IF2)222。CF1UCF2222。10,有U(P，d39。CF1或者$d39。2)204。U{Q，min{d39。2}}204。(2)若E1，E2是開集，則E1UE2與E1IE2都為開集。CE1，CE2都為閉集222。E1UE2，E1IE2(見習(xí)題9)(3)若F是閉集，E為開集，則FE為閉集，EF為開集證：先證：任何兩個(gè)集A，B：AB=AICB因?yàn)椋簒206。x206。B222。A，x206。x206。AICB=y206。y206。B222。AB，所以AB=AICB由于 F是閉集，E為開集222。FCE是閉集222。CF是開集，EF是開集。EF，則p206。F,由此知p為E的內(nèi)點(diǎn)，p為F的外點(diǎn)，于是分別存在d10和d20,使得U(p。E,U(p。F=198。d)204。1試把閉域套定理推廣 閉集套定理，：設(shè){Dn}是R2中的閉集列，它滿足(i)Dn201。165。D,n=1,2,：任取點(diǎn)列Pn206。Dn,Pn+p,Pn從而有 r(Pn+p,Pn)163。0(n174。)根據(jù)柯西準(zhǔn)則，$P0206。165。N+，對p206。Dn,再令p174。因?yàn)镈n是閉集，P0作為Dn的聚點(diǎn)必屬于Dn，即 P0=limPn+p206。165。0206。0)163。0,Pn)163。0(n174。)r(P39。0，故定理成立.1：設(shè)D204。UDa)，aaUa則在{Da}中必存在有限開域D1,D2D3LDn，它覆蓋了D(即D204。R2為一有界域222。{(x,y)|a163。b,c163。d}1反證法：若不存在有限個(gè)開域覆蓋D，則取直線x=(a+b)及21y=(c+d)將區(qū)域劃分成四個(gè)區(qū)域，這四個(gè)區(qū)域?qū)劃分若個(gè)2區(qū)域，而A中包含A1則：D1204。A且d1=d(D1)163。x163。x163。記上述閉域?yàn)镈2，(b1a1)2+(d1c1)221記A2={(x,y)|a2163。b2,c2163。d2}222。Dn,n=1,2,3,L，且Dn不能被有限中開域所則D2204。A1，d2204。覆蓋.(ii)dn204。所以limdn=0n174。12n(ba)2+(dc)，存在唯一點(diǎn)P0206。Dn，n=1,2，3，L222。Da222。Da但因?yàn)閘imdn=0222。N+,當(dāng)nN時(shí)，就有n174。Dn204。Da與假設(shè)矛盾故必存在有限個(gè)區(qū)域D1,D2,LDn，使它們覆蓋D.第二篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)數(shù)學(xué)分析第16章多元函數(shù)的極限與連續(xù)計(jì)劃課時(shí)：0 時(shí)第16章多元函數(shù)的極限與連續(xù)(1 0 時(shí))167。0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}，{(x,y)|y179。[c,d], {(x,y)|x|+|y|163。2acosq}和{(r,q)|r163。q163。E集合E的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為intE,.外點(diǎn)：存在U(A)使U(A)IE=f界點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)既有E的點(diǎn)也有不屬于E的點(diǎn)。E集合的內(nèi)點(diǎn)206。E , 確定集E={(x,y)|0(x1)+(y+2)1 }的內(nèi)點(diǎn)、 E={(x,y)|0163。D(x), x206。孤立點(diǎn)：A206。 E={(x,y)|y=sin }.E的聚點(diǎn)集=E200?；騬(P1,P2)163。 |x1x2|+|y1y2|.r(P1,P3)+r(P2,P3):1． 點(diǎn)列的極限:設(shè)Pn=(xn , yn)204。limn174。e0,$N,nNPn206。(x0 , y0)219。x0, yn174。165。165。ⅱ f(x,y)=(yx+1)yf(x,y)=2x3y2, 求 f(1 , 1), f(1 ,).xf(x,y)=ln(1+x2+y2), 求f(rcosq , rsinq).: ⑴ 變量對稱函數(shù): f(x,y)=f(y,x),例8中的函數(shù)變量對稱.⑵ 變量分離型函數(shù): f(x,y)=f(x)y(y).例如z=xye2x+3y, z=xy+2x+y+2, f(x,y)=(xy+y)(xyx)等.(xy)2 4 但函數(shù)z=x+y不是變量分離型函數(shù).⑶ 具有奇、偶性的函數(shù)四．n元函數(shù)二元函數(shù) 推廣維空間 記作R n作業(yè) P9—8.167。R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，A是確定數(shù) 若 e0,$d0,或2P206。D,f(P)Ae則limf(P)=AP174。(x0,y0)limf(x,y)=A例1 用“ed”定義驗(yàn)證極限(x,y)174。0x+y2y174。x2y2,(x,y)185。xyf(x,y)=237。0 ,(x,y)=(0,0).238。(0,0)：定理 1limf(P)=A, 219。P0P206。P0P206。D, (P)不存在 , 則極限limf(P)174。E1P174。D推論2設(shè)E1,E2204。P0P206。P0P206。A2, 則極限limf(P)174。DP174。D推論3極限limf(P)存在, 219。P0但Pn185。P0不相等, , 沿任何方向的極限存在且相等 222。xy ,(x,y)185。 證明極限limf(x,y)(x,y)=237。(0,0)239。6 求下列極限: ⅰ(x,y)174。ⅱ。(3,0)yx2+y2 ⅲ3．極限(x,y)174。ⅳ (x,y)174。(x0,y0)limf(x,y)=+165。R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，若 M0,$d0,或P206。D,f(P)M則limf(P)=+165。P0(x,y)174。其他類型的非正常極限，(x,y)174。(0,0)lim1=+165。R,x0,y0分別是Ex,Ey的聚點(diǎn)，二元函數(shù)f在集合Ex180。若對每一個(gè)y206。y0存在極限limf(x,y)記作f(y)=limf(x,y)x174。Ex174。E若L=limf(y)存在，則稱此極限為二元函數(shù)f先對x后對y的累次極限y174。Ey記作L=limlimf(y)簡記L=limlimf(y)y174。x0y206。Exy174。x0例8 f(x,y)=xy, 求在點(diǎn)(0 , 0)+y2 7 例9 x2y2, 求在點(diǎn)(0 , 0)(x,y)=22x+y11+ysin, 求在點(diǎn)(0 , 0) f(x,y)=:⑴ 兩個(gè)累次極限存在時(shí), 可以不相等.(例9)⑵ 兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí), (x,y)=xsin1在點(diǎn)(0 , 0)⑶ 二重極限存在時(shí), , 由 , y)174。 |x|+|y|174。/二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上 , 二重極限、 若二重極限推論1 二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí) , 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí) , , 另一個(gè)不存在 222。(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 174。y0作業(yè)提示: P99 4167。xy22 , x+y185。239。239。x+165。([1]P124 E4)0 , (x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , : 全增量、(即全面連續(xù))和單元連續(xù) :定義(單元連續(xù))二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱[1]P132 圖16—: 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、:二元初等函數(shù) , : :.(證).(證).(證)Ex[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；P137—1381，第三篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限：x2y111)lim(4x+3y)；2）lim(x+y
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