專題二：立體幾何---線面垂直、面面垂直匯總-展示頁
2024-11-03 17:09本頁面
【正文】 平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC．證明：∵AB是圓Ｏ的直徑，∴AC^BC． ∵PA^平面ABC，BC204。性質(zhì)性質(zhì)推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質(zhì)定理．同學(xué)們應(yīng)當(dāng)學(xué)會靈活應(yīng)用這些定理證明問題．下面舉例說明．3．如圖１所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F(xiàn)，G．求證：AE^SB，AG^SD．證明：∵SA^平面ABCD，B^BC，C^AE．∴SA^BC．∵A∴BC^平面SAB．又∵AE204。190。190。174。190。190。線面垂直172。190。線線垂直．一般來說，線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來分析解決，其關(guān)系為：線線垂直判定判定190。平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．評注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直222。平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性質(zhì)，得AD⊥平面PBC．又∵BC204。第一篇：專題二：立體幾何線面垂直、面面垂直匯總專題二：立體幾何線面垂直、面面垂直一、知識點(diǎn)（1）線面垂直性質(zhì)定理（2）線面垂直判定定理（3）面面垂直性質(zhì)定理（2）面面垂直判定定理線面垂直的證明中的找線技巧通過計算，運(yùn)用勾股定理尋求線線垂直M為CC1 的中點(diǎn)，1．如圖1，在正方體ABCDAAC交BD于點(diǎn)O，求證：AO^1BC11D1中，1平面MBD．證明：連結(jié)MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AIAC=A，∴DB⊥平面A204。平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．1323a，MO2=a2． 2492222AM=a．∵AO在Rt△AC中，∴M+MO2=AM1111142設(shè)正方體棱長為a，則A1O=A1O^OM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．評注：在證明垂直關(guān)系時，有時可以利用棱長、角度大小等數(shù)據(jù)，通過計算來證明．利用面面垂直尋求線面垂直2．如圖2，P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAC．證明：在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC交PC于D．因為平面PAC⊥平面PBC，且兩平面交于PC，AD204。平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC204。線面垂直222。190。174。190。190。190。面面垂直．這三者之間的關(guān)系非常密切，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面172。190。190。平面SAB，∴B∵SC^平面AEFG，∴SC^AE．∴AE^平面SBC．∴AE^SB．同理可證AG^SD． 評注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化．4．如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點(diǎn)Ｆ，連結(jié)CF，DF．∵AC=BC，∴CF^AB．∵AD=BD，∴DF^AB．又CFIDF=F，∴AB^平面CDF．∵CD204。平面ABC，∴PA^BC．∴BC^平面APC． ∵BC204。平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．評注：證明兩個平面垂直時，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系．10．如圖, 在空間四邊形SABC中, SA^平面ABC, 208。, AN^SB于N, AM^SC于M。②SC^平面ANM 分析: ①要證AN^BC, 轉(zhuǎn)證, BC^平面SAB。要證SC^AN, 轉(zhuǎn)證AN^平面SBC, 就可以了。平面SAB ∴AN^BC②∵AN^BC, AN^SB, 且SBIBC = B ∴AN^平面SBC ∵SCC平面SBC ∴AN^SC又∵AM^SC, 且AMIAN = A ∴SC^平面ANM ［例2］如圖9—40，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．圖9—40（1）求證：AB⊥BC；（1）【證明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影為SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．［例3］如圖9—41，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．求證：平面MND⊥平面PCD 【證明】取PD中點(diǎn)E，連結(jié)EN，EA，則EN AM，∴四邊形ENMA是平行四邊形，∴EA∥MN．∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，從而MN⊥平面PCD，∵M(jìn)N204。ENB1=208。 ∴208。即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN204。平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．4．如圖9—45，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，
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