20xx新人教a版高中數(shù)學(xué)必修一132奇偶性學(xué)案-展示頁
2024-12-19 21:19本頁面
【正文】 ＝ f(x2)＋ f(－ x1)＝ f(x2－ x1)＜ 0， ∴ f(x1)＞ f(x2)， ∴ f(x)在 R 上是減函數(shù)， ∴ f(x)的最大值為 f(－ 3)＝－ f(3) ＝－ 3f(1)＝ (－ 3)( － 2)＝ 6， 最小值為 f(3)＝－ f(－ 3)＝－ 6. 。 f(x)是否等于 0，從而確定奇偶性． (2)圖象法：若函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)． (3)分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段 說明 f(－ x)與f(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對稱區(qū)間上的對應(yīng)關(guān)系滿足同樣的關(guān)系時，才能判定函數(shù)的奇偶性． 跟蹤演練 1 (1)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 ( ) A． y＝ |x| B． y＝ 3－ x C． y＝ 1x3 D． y＝－ x2＋ 14 (2)若 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 是偶函數(shù)，則 g(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx 是 ( ) A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 答案 (1)C (2)A 解析 (1)A、 D兩項，函數(shù)均為偶函數(shù)， B項中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而 C項中 函數(shù)為奇函數(shù)． (2)∵ f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 是偶函數(shù)， ∴ f(－ x)＝ f(x)，得 b＝ 0.∴ g(x)＝ ax3＋ cx. ∴ g(－ x)＝ a(－ x) 3＋ c(－ x)＝－ g(x)， ∴ g(x)為奇函數(shù)． 要點二 利用函數(shù)奇偶性研究函數(shù)的圖象 例 2 已知奇函數(shù) f(x)的定義域為 [－ 5,5]，且在區(qū)間 [0,5]上的圖象如下圖所示，則使函數(shù)值y0 的 x 的取值集合為 ________． 答案 (－ 2,0)∪(2,5) 解析 因為函數(shù) f(x)是奇函數(shù)，所以 y＝ f(x)在 [－ 5,5]上的圖象關(guān)于原點對稱．由 y＝ f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在 [－ 5,0]上的圖象，如下圖所示．由圖象知，使函數(shù)值 y0的 x的取值集合為 (－ 2,0)∪(2,5) ． 規(guī)律方法 給出奇函數(shù)或偶函數(shù)在 y 軸一側(cè)的圖象，根 據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱，可以作出函數(shù)在 y軸另一側(cè)的圖象．作對稱圖象時，可以先從點的對稱出發(fā)，點 (x0， y0)關(guān)于原點的對稱點為 (－ x0，－ y0)，關(guān)于 y 軸的對稱點為 (－ x0， y0)． 跟蹤演練 2 設(shè)偶函數(shù) f(x)的定義域為 [－ 5,5]，若當(dāng) x∈[0,5] 時， f(x)的圖象如圖所示，則不等式 f(x)＜ 0 的解集是 ________________________． 答案 {x|－ 5≤ x＜－ 2，或 2＜ x≤5} 解析 由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱，所以可根據(jù)對稱性確定不等式 f(x)＜ 0 的解． ∵ 當(dāng) x∈[0,5] 時， f(x)＜ 0的解為 2＜ x≤5 ， 所以當(dāng) x∈[ － 5,0]時， f(x)＜ 0的解為－ 5≤ x＜－ 2. ∴ f(x)＜ 0的解是－ 5≤ x＜－ 2 或 2＜ x≤5. 要點三 利用函數(shù)的奇偶性求解析式 例 3 已知函數(shù) f(x)(x∈ R)是奇函數(shù)，且當(dāng) x＞ 0時， f(x)＝ 2x－ 1，求函數(shù) f(x)的解析式． 解 當(dāng) x＜ 0，－ x＞ 0， ∴ f(－ x)＝ 2(－ x)－ 1＝－ 2x－ 1. 又 ∵ f(x)是奇函數(shù)， ∴ f(－ x)＝－ f(x)， ∴ f(x)＝ 2x＋ f(x)(x∈ R)是奇函數(shù)， ∴ f(－ 0)＝－ f(0)，即 f(0)＝ 0.
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