【正文】 為線性規(guī)劃問題，其數(shù)學模型一般為：,b.若目標函數(shù)是設計變量的二次函數(shù)、約束是線性函數(shù)，則為二次規(guī)劃問題。,在優(yōu)化設計中，用目標函數(shù)的大小來衡量設計方案的優(yōu)劣，故目標函數(shù)也可稱評價函數(shù)。,一般情況下，其設計可行域可表示為：,圖25 二維問題的可行域,三、目標函數(shù),目標函數(shù)是設計變量的函數(shù)，是設計中所追求的目標。,設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示：,圖24 設計空間,二、約束條件,一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。,除了解析法外，還可以采用作圖法求解。求在鋼管壓應力 不超過許用壓應力 和失穩(wěn)臨界應力 的條件下，人字架的高h和鋼管平均直徑D，使鋼管總質量m為最小。,圖11所示的人字架由兩個鋼管構成，其頂點受外力2F=3 N。,三、本課程的主要內容,1.建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型,2.選擇合適的優(yōu)化方法,3.編制計算機程序，求得最佳設計參數(shù),第一章 機械優(yōu)化設計概述,第一節(jié) 應用實例 機械優(yōu)化設計問題來源于生產(chǎn)實際。,2)優(yōu)化設計這門新技術在傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)中普及率還不高。,優(yōu)化設計本身存在的問題和某些發(fā)展趨勢主要 有以下幾方面：,1)目前優(yōu)化設計多數(shù)還局限在參數(shù)最優(yōu)化這種數(shù)值量優(yōu)化問題。,1.優(yōu)化設計的應用領域,國內近年來才開始重視，但發(fā)展迅速，在機構綜合、機械的通用零部件的設計、工藝設計方面都得到應用。,圖11 傳統(tǒng)的機械設計過程,圖1－3 機械優(yōu)化設計過程框圖,優(yōu)化設計與傳統(tǒng)設計相比，具有如下三個特點：,(1)設計的思想是最優(yōu)設計；,(2)設計的方法是優(yōu)化方法；,(3)設計的手段是計算機。,什么叫機械優(yōu)化設計,工程設計上的“最優(yōu)值”(Optimum)或“最佳值”系指在滿足多種設計目標和約束條件下所獲得的最令人滿意和最適宜的值。機械優(yōu)化設計方法,第一章：緒論,優(yōu)化設計（Optimum Design)是60年代發(fā)展起來的一門新的設計方法，是最優(yōu)化技術和計算技術在設計領域中應用的結果。,解析法,數(shù)值計算法,優(yōu)化方法,微分求極值,迭代逼近最優(yōu)值,計算機,優(yōu)化設計,機械優(yōu)化設計是使某項機械設計在規(guī)定的各種設計限制條件下，優(yōu)選設計參數(shù)，使某項或幾項設計指標獲得最優(yōu)值。,一、從傳統(tǒng)設計到優(yōu)化設計,機械設計一般需要經(jīng)過調查研究(資料檢索)、擬訂方案(設計模型)、分析計算(論證方案)、繪圖和編制技術文件等一系列的工作過程。,二、機械優(yōu)化設計的發(fā)展概況,近幾十年來，隨著數(shù)學規(guī)劃論和電子計算機的迅速發(fā)展而產(chǎn)生的，它首先在結構設計、化學工程、航空和造船等部門得到應用。,2.目前機械優(yōu)化設計的應用領域,在機械設計方面的應用較晚，從國際范圍來說，是在上世紀60年代后期才得到迅速發(fā)展的。結構型式的選擇還需進一步研究解決。,3)把優(yōu)化設計與CAD、專家系統(tǒng)結合起來是優(yōu)化設計發(fā)展的趨勢之一?，F(xiàn)在舉典型實例來說明優(yōu)化設計的基本問題。人字架的跨度2B=152cm,鋼管壁厚T=0.25cm, 鋼管材料的彈性模量E=2.1 Mpa，材料密度ρ=7.8 / ，許用壓應力 = 420MPa。,圖22 人字架的受力,人字架的優(yōu)化設計問題歸結為：,使結構質量,但應滿足強度約束條件,穩(wěn)定約束條件,鋼管所受的壓力,失穩(wěn)的臨界力,鋼管所受的壓應力,鋼管的臨界應力,強度約束條件,可以寫成,穩(wěn)定約束條件,可以寫成,人字架的總質量,這個優(yōu)化問題是以D和h為設計變量的二維問題，且只有兩個約束條件，可以用解析法求解。,13人字架優(yōu)化設計的圖解,第三節(jié)優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型,一、設計變量,在優(yōu)化設計的過程中，不斷進行修改、調整， 一直處于變化的參數(shù)稱為設計變量。,約束,性能約束,側面約束,針對性能要求,只對設計變量的取值范 圍限制（又稱邊界約束）,（按性質分）,按數(shù)學表達形式分：,約束,等式約束,不等式約束,可行域：凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間的活動范圍。如：軸的質量，彈簧的體積，齒輪的承載能力等。,目標函數(shù)的一般表示式為：,優(yōu)化設計的目的就是要求所選擇的設計變量使目標函數(shù)達到最佳值，即使,通常,目標函數(shù),單目標設計問題,多目標設計問題,目前處理多目標設計問題的方法是組合成一個復合的目標函數(shù)，如采用線性加權的形式，即,四、優(yōu)化問題的數(shù)學模型,優(yōu)化設計的數(shù)學模型是對優(yōu)化設計問題的數(shù)學抽象。其一般表達式為：,五、優(yōu)化問題的幾何解釋,無約束優(yōu)化：在沒有限制的條件下，對設計變量求目標函數(shù)的極小點。,約束優(yōu)化：在可行域內對設計變量求目標函數(shù)的極小點。,第四節(jié)優(yōu)化設計問題的基本解法,求解優(yōu)化問題的方法：,解析法,數(shù)值法,數(shù)學模型復雜時不便求解,可以處理復雜函數(shù)及沒有數(shù)學表達式 的優(yōu)化設計問題,圖111 尋求極值點的搜索過程,第二章 優(yōu)化設計的數(shù)學基礎,機械設計問題一般是非線性規(guī)劃問題。,機械優(yōu)化設計問題分為：,無約束優(yōu)化,約束優(yōu)化,無條件極值問題,條件極值問題,第一節(jié) 多元函數(shù)的方向導數(shù)與梯度,一、方向導數(shù),從多元函數(shù)的微分學得知，對于一個連續(xù)可微函數(shù)f(x)在某一點 的一階偏導數(shù)為：,它表示函數(shù)f(x)值在 點沿各坐標軸方向的變化率。,圖21 函數(shù)的方向導數(shù),其函數(shù)在 點沿d方向的方向導數(shù)為,二、二元函數(shù)的梯度,即,三、多元函數(shù)的梯度,沿d方向的方向向量,即,圖25 梯度方向與等值面的關系,若目標函數(shù)f(x)處處存在一階導數(shù)，則極值點 的必要條件一階偏導數(shù)等于零，即,滿足此條件僅表明該點為駐點，不能肯定為極值 點，即使為極值點，也不能判斷為極大點還是極 小點，還得給出極值點的充分條件,設目標函數(shù)在 點至少有二階連續(xù)的偏導數(shù)，則,在這一點的泰勒二次近似展開式為：,第二節(jié) 多元函數(shù)的泰勒展開,泰勒展開寫成向量矩陣形式,∵,∵,（1） ▽F(X*)=0； 必要條件 （2）Hesse矩陣G(X*)為正定。,則極小點必須滿足,為無約束優(yōu)化問題的極值條件,同學考慮二元函數(shù)在 處取得極值的充分必要條件。,而優(yōu)化問題一般是要求目標函數(shù)在某一區(qū)域內 的全局極小點。,一個點集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點,凸集的性質,二、凸函數(shù),函數(shù)f(x）為凸集定義域內的函數(shù)，若對任何的,稱,是定義在凸集上的一個凸函數(shù)。,2.根據(jù)二階導數(shù)（ Hesse矩陣)來判斷函數(shù)的凸性,設f(x)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導數(shù)的 函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件,Hesse矩陣在R上處處半正定。,二、拉格朗日乘子法（升維法）,對于具有L個等式約束的n維優(yōu)化問題,處有,將原來的目標函數(shù)作如下改造：,拉格朗日函數(shù),待定系數(shù),新目標函數(shù)的極值的必要條件,例24 用拉格朗日乘子法計算在約束條件,的情況下，目標函數(shù),的極值點坐標。,有必要引出非線性優(yōu)化問題的重要理論，是不等式 約束的多元函數(shù)的極值的必要條件。,需引入松弛變量，將不等式約束變成等式約束。,因此，一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件，可以表示為：,多元,庫恩塔克條件,分析極值點 在區(qū)間的位置，有三種情況,即,即,從以上分析可以看出，對應于不起作用的約束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用約束的下標集合。,二、庫恩塔克條件,仿照一元函數(shù)給定區(qū)間上極值條件的推導過程， 可以得到具有不等式約束多元函數(shù)極值條件：,用起作用約束的下標集合表示,用梯度形式表示，可得,或