【正文】 X0)，則步長α0 縮小，專步驟1）重新計(jì)算，直至f(XL) f(X0)為止。,初始點(diǎn)可以通過隨機(jī)選擇的方法產(chǎn)生。,從初始點(diǎn)x0出發(fā)，沿d 方向以一定步長進(jìn)行搜索，得到新點(diǎn) X，新點(diǎn)x應(yīng)滿足約束條件且f(x)f(x0)，至此完成一次迭代。,3）要求可行域有界的非空集。,直接解法的基本思想：,在由m個(gè)不等式約束條件gu(x)≤0所確定的可行域φ內(nèi)，選擇一個(gè)初始點(diǎn)x(0)，然后確定一個(gè)可行搜索方向S，且以適當(dāng)?shù)牟介L沿S方向進(jìn)行搜索，取得一個(gè)目標(biāo)函數(shù)有所改善的可行的新點(diǎn)x(1)，即完成了一次迭代。,間接解法是將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化問題來 解的一種方法。如需要 替換，在產(chǎn)生新的向量。,3.搜索步長的確定,關(guān)于 值通常有以下幾種取法 （1）加速步長法 （2）最優(yōu)步長法 最優(yōu)步長法就是利用一維最優(yōu)搜索方法來完成每一次迭代，即 此時(shí)可以采用0.618方法或二次插值方法來計(jì)算 的值。,因此又稱變量輪換法。,若矩陣G是正定的，則總存在矩陣Q使,使得函數(shù)偏心度變?yōu)榱恪?由于對(duì)稱矩陣H在迭代過程中是不斷修正改變的，它對(duì)于一 般尺度的梯度起到改變尺度的作用，因此H又稱變尺度矩陣。,第五節(jié) 共軛梯度法,共軛梯度法是共軛方向法的一種，共軛向量有迭代點(diǎn) 的負(fù)梯度構(gòu)造出來，所以稱共軛梯度法。,應(yīng)滿足什么條件？,對(duì)于二次函數(shù) 在 處取得極小點(diǎn)的必要條件,等式兩邊同乘 得,是對(duì)G的共軛方向。搜索方向是共軛方向。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰 兩個(gè)搜索方向互相垂直。,各種無約束優(yōu)化方法的區(qū)別：確定搜索方向的方法不同。,令,所以,則,第四章無約束優(yōu)化方法,第一節(jié) 概述,從第一章列舉的機(jī)械設(shè)計(jì)問題，大多數(shù)實(shí)際問題是約束優(yōu)化問題。,即,依次繼續(xù)下去，可得牛頓法迭代公式：,牛頓法的幾何解釋：,牛頓法的計(jì)算步驟：,給定初始點(diǎn) ，控制誤差 ，并令k=0。,2,所謂的“黃金分割”是指將一線段分成兩段的方法，使整段長 與較長段的長度比值等于較長段與較短段的比值，即,第四節(jié)一維搜索的插值方法,假定要在某一區(qū)間內(nèi)尋找函數(shù)的極小點(diǎn)的位置，雖然沒有函數(shù) 表達(dá)式，但能夠給出若干試驗(yàn)點(diǎn)處的函數(shù)值。就形成了不同的一維搜索方法。,數(shù)值法的基本思路：確定 的搜索區(qū)間，在不斷縮小 區(qū)間，最終獲得近似值。,是優(yōu)化搜索方法的基礎(chǔ)。,一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件，可以改寫為：,極值條件中只考慮起作用的約束和相應(yīng)的乘子。,庫恩塔克（KuhnTucker）條件,一、一元函數(shù)在給定區(qū)間上的極值條件,一元函數(shù)f(x)在給定區(qū)間[a,b]上的極值問題，可以 寫成下列具有不等式約束條件的優(yōu)化問題：,拉格朗日乘子法，除了可以應(yīng)用于等式的極值問題，還可 以用于不等式的極值問題。,四、凸規(guī)劃,對(duì)于約束優(yōu)化問題,凸規(guī)劃的性質(zhì)：,3.凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解,第五節(jié) 等式約束優(yōu)化問題的極值條件,約束優(yōu)化,等式約束,不等式約束,求解這一問題的方法,消元法,拉格朗日乘子法,1.消元法（降維法）,以二元函數(shù)為例討論。,函數(shù)的局部極小點(diǎn)是不是一定是全局極小點(diǎn)呢？,圖27 下凸的一元函數(shù),一、凸集,的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱該點(diǎn)集為凸集， 否則為非凸集。 充分條件,多元函數(shù)f(x)在 處取得極值，則極值的條件為,為無約束極小點(diǎn)的充分條件,其Hesse矩陣G(X*)為正定的。,實(shí)質(zhì)上是多元非線性函數(shù)的極小化問題，因此，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是建立在多元函數(shù)的極值理論基礎(chǔ)上的。,其極小點(diǎn)在目標(biāo)函數(shù)等值面的中心。,在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，用目標(biāo)函數(shù)的大小來衡量設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣，故目標(biāo)函數(shù)也可稱評(píng)價(jià)函數(shù)。,設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示：,圖24 設(shè)計(jì)空間,二、約束條件,一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。求在鋼管壓應(yīng)力 不超過許用壓應(yīng)力 和失穩(wěn)臨界應(yīng)力 的條件下，人字架的高h(yuǎn)和鋼管平均直徑D，使鋼管總質(zhì)量m為最小。,三、本課程的主要內(nèi)容,1.建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型,2.選擇合適的優(yōu)化方法,3.編制計(jì)算機(jī)程序，求得最佳設(shè)計(jì)參數(shù),第一章 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)概述,第一節(jié) 應(yīng)用實(shí)例 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題來源于生產(chǎn)實(shí)際。,優(yōu)化設(shè)計(jì)本身存在的問題和某些發(fā)展趨勢主要 有以下幾方面：,1)目前優(yōu)化設(shè)計(jì)多數(shù)還局限在參數(shù)最優(yōu)化這種數(shù)值量優(yōu)化問題。,圖11 傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)過程,圖1－3 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)過程框圖,優(yōu)化設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)相比，具有如下三個(gè)特點(diǎn)：,(1)設(shè)計(jì)的思想是最優(yōu)設(shè)計(jì)；,(2)設(shè)計(jì)的方法是優(yōu)化方法；,(3)設(shè)計(jì)的手段是計(jì)算機(jī)。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,第一章：緒論,優(yōu)化設(shè)計(jì)（Optimum Design)是60年代發(fā)展起來的一門新的設(shè)計(jì)方法，是最優(yōu)化技術(shù)和計(jì)算技術(shù)在設(shè)計(jì)領(lǐng)域中應(yīng)用的結(jié)果。,一、從傳統(tǒng)設(shè)計(jì)到優(yōu)化設(shè)計(jì),機(jī)械設(shè)計(jì)一般需要經(jīng)過調(diào)查研究(資料檢索)、擬訂方案(設(shè)計(jì)模型)、分析計(jì)算(論證方案)、繪圖和編制技術(shù)文件等一系列的工作過程。,2.目前機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域,在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用較晚，從國際范圍來說，是在上世紀(jì)60年代后期才得到迅速發(fā)展的。,3)把優(yōu)化設(shè)計(jì)與CAD、專家系統(tǒng)結(jié)合起來是優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)展的趨勢之一。人字架的跨度2B=152cm,鋼管壁厚T=0.25cm, 鋼管材料的彈性模量E=2.1 Mpa，材料密度ρ=7.8 / ，許用壓應(yīng)力 = 420MPa。,13人字架優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解,第三節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型,一、設(shè)計(jì)變量,在優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程中，不斷進(jìn)行修改、調(diào)整， 一直處于變化的參數(shù)稱為設(shè)計(jì)變量。如：軸的質(zhì)量，彈簧的體積，齒輪的承載能力等。其一般表達(dá)式為：,五、優(yōu)化問題的幾何解釋,無約束優(yōu)化：在沒有限制的條件下，對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。,第四節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的基本解法,求解優(yōu)化問題的方法：,解析法,數(shù)值法,數(shù)學(xué)模型復(fù)雜時(shí)不便求解,可以處理復(fù)雜函數(shù)及沒有數(shù)學(xué)表達(dá)式 的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,圖111 尋求極值點(diǎn)的搜索過程,第二章 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),機(jī)械設(shè)計(jì)問題一般是非線性規(guī)劃問題。,圖21 函數(shù)的方向?qū)?shù),其函數(shù)在 點(diǎn)沿d方向的方向?qū)?shù)為,二、二元函數(shù)的梯度,即,三、多元函數(shù)的梯度,沿d方向的方向向量,即,圖25 梯度方向與等值面的關(guān)系,若目標(biāo)函數(shù)f(x)處處存在一階導(dǎo)數(shù)，則極值點(diǎn) 的必要條件一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，即,滿足此條件僅表明該點(diǎn)為駐點(diǎn)，不能肯定為極值 點(diǎn)，即使為極值點(diǎn)，也不能判斷為極大點(diǎn)還是極 小點(diǎn)，還得給出極值點(diǎn)的充分條件,設(shè)目標(biāo)函數(shù)在 點(diǎn)至少有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則,在這一點(diǎn)的泰勒二次近似展開式為：,第二節(jié) 多元函數(shù)的泰勒展開,泰勒展開寫成向量矩陣形式,∵,∵,（1） ▽F(X*)=0； 必要條件 （2）Hesse矩陣G(X*)為正定。,而優(yōu)化問題一般是要求目標(biāo)函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi) 的全局極小點(diǎn)。,2.根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)（ Hesse矩陣)來判斷函數(shù)的凸性,設(shè)f(x)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的 函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件,Hesse矩陣在R上處處半正定。,有必要引出非線性優(yōu)化問題的重要理論，是不等式 約束的多元函數(shù)的極值的必要條件。,因此，一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件，可以表示為：,多元,庫恩塔克條件,分析極值點(diǎn) 在區(qū)間的位置，有三種情況,即,即,從以上分析可以看出，對(duì)應(yīng)