【正文】 于不起作用的約束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用約束的下標(biāo)集合。,三、庫恩塔克條件應(yīng)用舉例,若給定優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為,KT條件,第三章一維搜索方法,采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求函數(shù)極值點(diǎn)的迭代計(jì)算：,K+1次迭代的搜索方向,搜索的最佳步長因子,稱為一維搜索。,則,從上式看，需要求導(dǎo)進(jìn)行計(jì)算，對于函數(shù)關(guān)系復(fù)雜的， 解析法十分不便。,而插入點(diǎn)的位置，可以由不同的方法來確定。,除對稱要求外，黃金分割法還要求在保留下來的區(qū)間再插入一點(diǎn) 所形成的區(qū)間新三段，與原來區(qū)間的三段具有相同的比例分布。,一、牛頓法（切線法）,函數(shù)很接近，因此，在 點(diǎn)附近用一個(gè)二次函數(shù) 逼近。,二、二次插值（拋物線法）,，作出如下的二次插值多項(xiàng)式,它應(yīng)滿足條件,（1）,從極值的必要條件求得,（2）,（3）,要求出系數(shù) 和 ，聯(lián)立方程組（1）、（2）、（3）。,無約束優(yōu)化問題的極值條件,解析法,數(shù)值法,數(shù)學(xué)模型復(fù)雜時(shí)不便求解,可以處理復(fù)雜函數(shù)及沒有數(shù)學(xué)表達(dá)式 的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,搜索方向問題是無約束優(yōu)化方法的關(guān)鍵。,搜索方向確定為負(fù)梯度方向，還需確定步長因子,即求一維搜索的最佳步長，既有,由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù) 梯度相互垂直。,對牛頓法進(jìn)行改進(jìn)，提出“阻尼牛頓法”,第四節(jié)共軛方向及共軛方向法,為了克服最速下降法的鋸齒現(xiàn)象，提高收斂速度，發(fā)展了 一類共軛方向法。,為避免鋸齒的發(fā)生，取下一次的迭代搜索方向直接指向極 小點(diǎn)，如果選定這樣的搜索方向，對于二元二次函數(shù)只需 進(jìn)行兩次直線搜索就可以求到極小點(diǎn)。,提供新的共軛方向 ，使,置 ，轉(zhuǎn)2。并在迭代過程中，使其逐漸逼近H1 。,對于一般二次函數(shù),如果進(jìn)行尺度變換,則在新的坐標(biāo)系中，函數(shù)的二次項(xiàng)變?yōu)?選擇這樣變換的目的：降低二次項(xiàng)的偏心程度。,它把多變量的優(yōu)化問題輪流地轉(zhuǎn)化成單變量的優(yōu)化問題。,圖4－12 坐標(biāo)輪換法原理圖（動畫演示）,2. 搜索方向與步長的確定,（1）搜索方向的確定,對于第k輪第i次的計(jì)算,第k輪第I次的迭代方向，它輪流取n維坐標(biāo)的單位向量。,改進(jìn)的算法是：首先判斷原向量組是否需要替換。,屬于這類方法的有：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)法、隨機(jī)方向搜索法、 復(fù)合形法、可行方向法等。,間接解法中具有代表性的是懲罰函數(shù)法。,2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜瑒t可獲得全域 最優(yōu)解，否則，可能存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始 點(diǎn)不同，而搜索到不同的局部最優(yōu)解。,第二節(jié)隨機(jī)方向法,隨機(jī)方向法的基本思路：,在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn) 生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降 最快的隨機(jī)方向作為搜索方向d。,一、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生,下面介紹一種常用的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的數(shù)學(xué)模型,驟計(jì)算：,令,在任意(a,b)區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù),二、初始點(diǎn)的選擇,隨機(jī)方向法的初始點(diǎn)x0必須是一個(gè)可行點(diǎn)，既滿足全部不等式約束條件。其計(jì)算步驟為：,2)取一試驗(yàn)步長a0，按下式計(jì)算k個(gè)隨機(jī)點(diǎn),3）檢驗(yàn)k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)是否為可行點(diǎn)，除去非可行點(diǎn)，計(jì)算余下 的可行點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比較其大小，選出目標(biāo)函數(shù)最小的點(diǎn) XL 。,五、隨機(jī)方向法的計(jì)算步驟,第三節(jié)復(fù)合形法,復(fù)合形法是求解約束優(yōu)化問題的一種重要的直接解法。,初始復(fù)合形生成的方法：,1）由設(shè)計(jì)者決定k個(gè)可形點(diǎn)，構(gòu)成初始復(fù)合形。,二、復(fù)合形法的搜索方法,1.反射,1）計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并比較其大小，求出 最好點(diǎn)XL、最壞點(diǎn)XH 及 次壞點(diǎn)XG，即,2）計(jì)算除去最壞點(diǎn)XH 外的（k1）個(gè)頂點(diǎn)的中心XC,3）從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來看，一般情況下，最壞點(diǎn)XH和中心點(diǎn)XC 的連線方向?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)的下降方向。,2.擴(kuò)張,3.收縮,第五節(jié) 懲罰函數(shù)法,懲罰函數(shù)法是一種很廣泛、很有效的間接解法。,加權(quán)轉(zhuǎn)化項(xiàng),懲罰函數(shù)法是按一定的法則改變加權(quán)因子的值，構(gòu)成一系列的無約束優(yōu)化問題，求一系列無約束最優(yōu)解，并不斷地逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。,障礙項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，在迭代過程中將阻止迭代點(diǎn)越出可形域。,采用內(nèi)點(diǎn)法只能求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。,求解得,不滿足約束條件，舍去。,2.懲罰因子的初值的選取,懲罰因子的初值選取應(yīng)適當(dāng)，否則會影響迭代計(jì)算的正常進(jìn)行。這樣選取的r0 ，可以是懲罰函數(shù)中的障礙項(xiàng)和原目標(biāo)函數(shù)的值大致相等，不會因障礙項(xiàng)的值太大則其支配作用，也不會因障礙項(xiàng)的值太小而被忽略掉。,二、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法,外點(diǎn)法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。,轉(zhuǎn)化后的外點(diǎn)懲罰函數(shù)的形式為：,例66 用外點(diǎn)法求問題,約束最優(yōu)解。但r0太小，勢必增加迭代次數(shù)。,三、混合懲罰函數(shù)法,1. 混合懲罰函數(shù)法及其算法步驟,在構(gòu)造懲罰函數(shù)時(shí)，可以同時(shí)包括障礙項(xiàng)與懲罰項(xiàng)，并將懲罰因子統(tǒng)一用r（k）表示：,由于內(nèi)點(diǎn)法容易處理不等式約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，而外點(diǎn)法又容易處理等式約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，因而可將內(nèi)點(diǎn)法與外點(diǎn)法結(jié)合起來，處理同時(shí)具有等式約束和不等式約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。 2.選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法。,二、建立數(shù)學(xué)模型的基本原則,數(shù)學(xué)模型的建立要求確切、簡潔的反映工程問題的客 觀實(shí)際。,3.約束條件的確定,2.目標(biāo)函數(shù)的確定,把最重要的指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，其余的次要的指標(biāo)可 作為約束條件。,三、數(shù)學(xué)模型的尺度變換,1.目標(biāo)函數(shù)的尺度變換,2.設(shè)計(jì)變量的尺度變換,當(dāng)各設(shè)計(jì)變量之間在量級上相差很大時(shí)，在給定的搜索 方向上各自的靈敏度相差也很大。,3.約束函數(shù)的規(guī)格化,約束函數(shù)的尺度變換稱規(guī)格化。,這樣，各約束函數(shù)得取值范圍都限制在[0，1]之 間，起到穩(wěn)定搜索過程和加速收斂的作用。,當(dāng)主軸的材料選定時(shí)，其設(shè)計(jì)方案由四個(gè)設(shè)計(jì)變量決 定。故設(shè)計(jì)變量取為,機(jī)床主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為,再確定約束條件,在外力F給定的情況下，y是設(shè)計(jì)變量x的函數(shù),其值按 下式計(jì)算,剛度滿足條件，強(qiáng)度尚有富裕，因此應(yīng)力約束條件可 不考慮。,減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)一般是在給定功率P、齒數(shù)比u、 輸入轉(zhuǎn)速n以及其他技術(shù)條件和要求下，找出一組使 減速器的某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)。,設(shè)計(jì)變量應(yīng)是獨(dú)立參數(shù)，非獨(dú)立參數(shù)不可列為設(shè)計(jì) 變量。若減速器的中心距沒有要求時(shí)，可取減速器最大尺寸最小或重量最輕作為目標(biāo)函數(shù)。,一、曲柄搖桿機(jī)構(gòu)再現(xiàn)已知運(yùn)動規(guī)律的優(yōu)化設(shè)計(jì),1.設(shè)計(jì)變量的確定,決定機(jī)構(gòu)尺寸的各桿長度，以及當(dāng)搖桿按已知運(yùn)動規(guī)律開始運(yùn)動時(shí)，曲柄所處的位置角φ0 為設(shè)計(jì)變量。,結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)通常以重量最輕和應(yīng)力集中區(qū)的應(yīng) 力最小作為目標(biāo)函數(shù)。24.10.2309:47:5409:47Oct2423Oct24 加強(qiáng)交通建設(shè)管理，確保工程建設(shè)質(zhì)量。2024年10月23日星期三上午9時(shí)47分54秒09:47:5424.10.23 嚴(yán)格把控質(zhì)量關(guān)，讓生產(chǎn)更加有保障。24.10.2324.10.2309:4709:47:5409:47:54Oct24 牢記安全之責(zé)，善謀安全之策，力務(wù)安全之實(shí)。09:47:5409:47:5409:4710/23/2024 9:47:54 AM 安全象只弓，不拉它就松，要想保安全，常把弓弦繃。2024年10月23日上午9時(shí)47分24.10.2324.10.23 追求卓越，讓自己更好，向上而生。上午9時(shí)47分54秒上午9時(shí)47分09:47:5424.10.23 每天都是美好的一天，新的