【正文】 ) 第三目標(biāo)： P3(d4＋ +d4 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , , , 3000 10 3 2023 5 4 3600 4 9 250 200 50000 120 70 ) ( ) 12 7 ( 2 1 2 1 2 1 4 4 2 1 3 3 2 2 2 1 1 1 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 i i d d x x x x x x d d x x d d x d d x d d x x st d d P d d P d P MinZ 六、目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 5 5 ( 3 , 2 , 1 , 0 , ) 4 5 ( , , 1 , 0 ) 3 5 ( , , 1 , ) , ( ) 2 5 ( , , 1 , ) 1 5 ( ) ( min 1 1 1 1 k d d n j x m i b x a K k g d d x c d d P z k k j i j n j ij k k k j n j kj k lk k K k lk L l l L L L 滿足約束條件： 目標(biāo)函數(shù) ： w w 其中 Pl為優(yōu)先因子， wlk， w?lk為優(yōu)先系數(shù) 七、建模的步驟 ? 根據(jù)要研究的問題所提出的各目標(biāo)與條件 ， 確定目標(biāo)值 ， 列出目標(biāo)約束與絕對約束； ? 可根據(jù)決策者的需要 ， 將某些或全部絕對約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束 。 制定生產(chǎn)計劃 ， 滿足下列目標(biāo)： P1級目標(biāo)：完成或超額完成利潤指標(biāo) 50000元； P2級目標(biāo)：產(chǎn)品甲不超過 200件 ， 產(chǎn)品乙不低于 250件； P3級目標(biāo)：現(xiàn)有鋼材 3600噸必須用完 120 70 單件利潤 3000 10 3 設(shè)備臺時 2023 5 4 煤炭 3600 4 9 鋼材 資源限制 乙 甲 單位 產(chǎn)品 資源 消耗 具有優(yōu)先級別的多目標(biāo)規(guī)劃 分析：題目有三個目標(biāo)層次 ， 包含四個目標(biāo)值 。 具有優(yōu)先級別的多目標(biāo)規(guī)劃 例 54：若上例中決策者擬訂下列經(jīng)營目標(biāo) ， 并確定了目標(biāo)之間的優(yōu)先順序 P1級目標(biāo)：充分利用設(shè)備有效臺時 ， 不加班； P2級目標(biāo)：產(chǎn)品 B的產(chǎn)量不多于 4； P3級目標(biāo)：實現(xiàn)利潤值 130萬元 分析：題目有三個目標(biāo)層次 ， 包含三個目標(biāo)值 。 實現(xiàn)目標(biāo)利潤為 140萬元的最優(yōu)生產(chǎn)方案 A B 可用量 設(shè)備 (臺時 ) 4 2 60 原材料 (KG) 2 4 48 利潤 (萬元 ) 8 6 從決策者的角度看 ， 他希望超過利潤目標(biāo)值 ， 若達不到 ， 也希望盡可能接近 ， 即負(fù)偏差最小 ? ? ? 0 , , 0 , 2 1 d d x x ? ? 48 4 2 2 1 x x ? ? 60 2 4 2 1 x x ? ? ? ? 140 6 8 2 1 d d x x ? ? ? ? ? ? ? st ? min d Z 級別相等的多目標(biāo)規(guī)劃 例 53：若上例中假設(shè)決策者根據(jù)市場預(yù)測 ， 產(chǎn)品 A的銷售量有下降的趨勢 ， 故考慮實現(xiàn)下列兩個目標(biāo)： (1)實現(xiàn)利潤目標(biāo) 122萬元 (2)產(chǎn)品 A的產(chǎn)量不多于 10 分析 : ? 兩個目標(biāo)級別相等 ， 即兩個目標(biāo)的重要程度一樣 ，不存在誰優(yōu)先的問題 ? 設(shè) d＋ ， d分別為超過目標(biāo)值的部分 ， 以及未完成目標(biāo)值的部分 ， 于是兩個目標(biāo)可以等價表示為： 10 122 6 8 1 2 1 1 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? d d x d d x x 級別相等的多目標(biāo)規(guī)劃 x1=10， x2=7， d－ 1＝ 0， d+2＝ 0，利潤為 122，兩個目標(biāo)均已經(jīng)實現(xiàn) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , , , , , 48 4 2 60 2 4 10 122 6 8 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 d d d d x x x x x x d d x d d x x st d d MinZ 具有優(yōu)先級別的多目標(biāo)規(guī)劃 ? 對于多個目標(biāo) ， 如果有一定的優(yōu)先順序 ， 即第一位重要的目標(biāo) ， 其優(yōu)先因子為 P1， 第二位重要的目標(biāo) ， 其優(yōu)先因子為 P2， 并規(guī)定 P1P2 ? 優(yōu)先保證 P1級目標(biāo)的實現(xiàn) ， 此時不考慮次級目標(biāo)；次級目標(biāo) P2在實現(xiàn)了 P1級目標(biāo)的基礎(chǔ)上再予以考慮 。 ? 又增加二個目標(biāo)： maxZ1=3x1+5x2 maxZ2=x1 minZ3=x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1， x2 ≥0 35 第二節(jié) 目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 例如 ? P1 級目標(biāo)實現(xiàn)利潤至少 30元； ? P2級目標(biāo)是甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量 假設(shè)：乙產(chǎn)品產(chǎn)量不少于 4件比甲產(chǎn)品產(chǎn)量不少于 6件更重要，取其權(quán)重為 2 minG= P1 d1 + P2(2d2 + d3 ) 3x1+5x2 +d1 d1+ = 30 x2 +d2 d2+ = 4 x1 + d3 d3+ = 6 x1 , x2 ,dk , dk+ ≥0(k=1,2,3) 目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 五 .多目標(biāo)規(guī)劃的解 (1)若多目標(biāo)規(guī)劃問題的解能使所有的目標(biāo)都達到 ，就稱該解為多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解； (2)若解只能滿足部分目標(biāo) ， 就稱該解為多目標(biāo)規(guī)劃的次優(yōu)解； (3)若找不到滿足任何一個目標(biāo)的解 ， 就稱該問題為無解 。 34 例： 甲乙產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)計劃。 (3)要求超過目標(biāo)值 ， 即超過量不限 ， 但不低于目標(biāo)值 ，也就是負(fù)偏差變量盡可能小 ， 則 minZ = f(d－ )。 一般說來 ， 有以下三種情況 ， 但只能出現(xiàn)其中之一： (1)要求恰好達到規(guī)定的目標(biāo)值 ， 即正 、 負(fù)偏差變量要盡可能小 ， 則 minZ = f(d＋ ＋ d－ )。 當(dāng)每一目標(biāo)值確定后 ， 決策者的要求是盡可能縮小偏離目標(biāo)值 。 若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個目標(biāo)的差別 ， 這時可分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù) ωj,這些都由決策者按具體情況而定 。 表示 Pk比 Pk+1有更大的優(yōu)先權(quán) 。 目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 三 .優(yōu)先因子 (優(yōu)先等級 )與優(yōu)先權(quán)系數(shù) 優(yōu)先因子 Pk是將決策目標(biāo)按其重要程度排序并表示出來 。 各自之間的重要程度可用數(shù)量 （ 權(quán)數(shù) ） 來描述 。 故在判斷最優(yōu)方案時 ， 首先從較高級別的目標(biāo)達到的程度來決策 ， 然后再其次級目標(biāo)的判斷 。 (2)不同級別的目標(biāo)的重要性是不可比的 。 最次要的目標(biāo)放在次要的等級中 。 產(chǎn)品 資源 甲 乙 現(xiàn)有資源 設(shè)備 A 2 0 16 設(shè)備 B 0 2 10 設(shè)備 C 3 4 32 單位利潤 3 5 ? 根據(jù)市場需求 /合同規(guī)定： ? 希望盡量擴大甲產(chǎn)品 ? 減少乙產(chǎn)品產(chǎn)量 。 所以 ， 絕對約束是硬約束 。 絕對約束 (系統(tǒng)約束 )是指必須嚴(yán)格滿足的等式或不等式約束 。 目標(biāo)約束即可對原目標(biāo)函數(shù)起作用 ， 也可對原約束起作用 。 負(fù)偏差變量 :表示實現(xiàn)值未達到目標(biāo)值的部分 ， 記為 d－ 。 偏差可能存在正的或負(fù)的 。 ? 同一目標(biāo)的 dk+ 和 dk 中至少有一個必須為零 。 實現(xiàn)值或決策值： 是指當(dāng)決策變量 xj選定以后 ，目標(biāo)函數(shù)的對應(yīng)值 。 ? 根據(jù)歷史資料 、 市場需求或上級部門的布置等來確定 。 ? 目標(biāo)規(guī)劃法： ? 對每一個目標(biāo)函數(shù)引入正的或負(fù)的偏差變量； ? 引入目標(biāo)的優(yōu)先等級和加權(quán)系數(shù) 。 ? 有效解法： ? 尋求能照顧到各目標(biāo)而使決策者感到滿意的解 。 ? 但權(quán)系數(shù)難以科學(xué)確定 。 當(dāng) L=1時，即為我們熟悉的單目標(biāo)線性規(guī)劃模型。 試建立此問題的數(shù)學(xué)模型 。 目標(biāo)規(guī)劃與線性規(guī)劃的比較 例 51：某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲 、 乙兩種產(chǎn)品 ， 已知資料如表所示 。 ? 線性規(guī)劃中的約束條件是同等重要的 ， 是硬約束；而目標(biāo)規(guī)劃中有輕重緩急和主次之分 ， 即有優(yōu)先權(quán) 。 問題的提出 5 第一節(jié) 多目標(biāo)規(guī)劃問題 一、線性規(guī)劃的局限性 ? 線性規(guī)劃的局限性 ? 只能解決一組線性約束條件下，某一目標(biāo)而且只能是一個目標(biāo)的最大或最小值的問題 ? 實際決策中，衡量方案優(yōu)劣考慮多個目標(biāo) ? 生產(chǎn)計劃決策，通?？紤]產(chǎn)值、利潤、滿足市場需求等 ? 生產(chǎn)布局決策，考慮運費、投資、供應(yīng)、市場、污染等 ? 這些目標(biāo)中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小的；有定量的，有定性的；有互相補充的，有互相對立的， LP則無能為力 ? 目標(biāo)規(guī)劃（ Goal Programming） 多目標(biāo)線性規(guī)劃 ? 含有多個優(yōu)化目標(biāo)的線性規(guī)劃 目標(biāo)規(guī)劃與線性規(guī)劃的比較 ? 線性規(guī)劃只討論一個線性目標(biāo)函數(shù)在一組線性約束條件下的極值問題；而目標(biāo)規(guī)劃是多個目標(biāo)決策 ， 可求得更切合實際的解 。 ? 求解線性