20xx年高二數(shù)學(xué)人教a版必修五34基本不等式2-展示頁
2024-11-30 15:54本頁面
【正文】 要證（ 3），只要證 （ ） 2 （ 4） 顯然，（ 4）是成立的。由于 4 個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式： 222a b ab?? 。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為 a,b 那么正方形的邊長為 22ab? 。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？ 教師引導(dǎo)學(xué)生從 面積 的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。 課題 : 167。 基本不等式2abab ?? 第 1課時(shí) 授課類型： 新授課 【 教學(xué)目標(biāo) 】 1．知識與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等； 2．過程與方法：通過實(shí)例探究抽象基本不等式； 3．情態(tài)與價(jià)值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 【 教學(xué)重點(diǎn) 】 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式2abab ??的證明過程； 【 教學(xué)難點(diǎn) 】 基本不等式 2abab ?? 等號成立條件 【 教學(xué)過程 】 基本不等式 2abab ?? 的幾何背景： 如圖是在北京召開的第 24界國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。 1．探究圖形中的不等關(guān)系 將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖， 在正方形 ABCD中右個(gè)全等的直角三角形。這樣， 4 個(gè)直角三角形的面積的和是 2ab，正方形的面積為 22ab? 。 當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危?a=b 時(shí)，正方形 EFGH 縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有222a b ab?? 。當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)，（ 4）中的等號成立。過點(diǎn) C作垂直于AB的弦 DE，連接 AD、 BD。 Ｃ B 即 Ｃ D＝ ab . 這個(gè)圓的半徑為 2ba? ，顯然，它大于或等于 CD，即 abba ??2 ，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) C 與圓心重合，即 a＝ b時(shí)，等號成立 . 因此：基本不等式 2abab ?? 幾何意義是“ 半徑不小于半弦 ” 評述： 2ba? 看作是正數(shù) a、 b 的等差中項(xiàng)， ab 看作是正數(shù) a、 b 的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng) . ，我們稱 2ba? 為 a、 b 的算術(shù)平均數(shù)，稱 ab 為 a、 b 的幾何平均數(shù) .本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) . [補(bǔ)充例題 ] 例 1 已知 x、 y都是正數(shù)，求證： (1)yxxy?≥ 2； (2)（ x＋ y）（ x2＋ y2）（ x3＋ y3）≥８ x3y3. 分析：在運(yùn)用定理： abba ??2時(shí)，注意條件 a、 b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì) (把握好每條性質(zhì)成立的條件 )，進(jìn)行變形 . 解：∵ x， y都是正數(shù) ∴yx＞ 0，xy＞ 0， x2＞ 0， y2＞ 0， x3＞ 0， y3＞ 0 (1)xyyxxyyx ??? 2＝ 2即xyyx?≥ 2. (2)x＋ y≥ 2 xy ＞ 0 x2＋ y2≥ 2 22yx ＞ 0 x3＋ y3≥ 2 33yx＞ 0 ∴（ x＋ y）（ x2＋ y2）（ x3＋ y3）≥ 2 xy 2 33yx ＝８ x3y3 即（ x＋ y）（ x2＋ y2）（ x3＋ y3）≥８ x3y3. a、 b、 c都是正數(shù)，求證 （ a＋ b）（ b＋ c）（ c＋ a）≥８ abc 分析：對于此類題目，選擇定理： abba ??2 （ a＞ 0， b＞ 0）靈活變形，可求得結(jié)果 . 解：∵ a， b， c都是正數(shù) ∴ a＋ b≥ 2 ab ＞ 0 b＋ c≥ 2
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