北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-211回歸分析之一-展示頁(yè)
2024-11-30 13:30本頁(yè)面
【正文】 ”，點(diǎn)擊“ 確定 ”按鈕，出現(xiàn)回歸對(duì)話框，按對(duì)話框中的提示，選擇對(duì)話框中的某些功能，即可得出與直線回歸有關(guān)的很多參數(shù)。 相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值究竟多大才能認(rèn)為兩個(gè)變量是相關(guān)的呢 ？或回歸方程才有意義呢 ？ → F檢驗(yàn)： 假設(shè)： H0： b = 0， F為： 殘回殘差平方和回歸平方和ffF//?（ 5—34） 可見(jiàn) r 檢驗(yàn)與 F 檢驗(yàn)的作用是一致的 ， 只用一種即可 。 但必須指出 ， 相關(guān)系數(shù) r 只表示線性相關(guān)的密切程度 ， 當(dāng) r 很小 ， 甚至等于零時(shí) ， 并不一定說(shuō)明 x 與 y 之間就不存在其它關(guān)系 。 圖５—４ ( a)R2 = 0xy 圖 (a) x 圖5—4(b)R2 = xy 圖 (b) x 圖5—4(c)R = xy 圖 (c) x 圖5—4(d)R2 = 1xy 圖 (d) x 圖5—4(e)R2 = 0xy 圖 (e) x 從上述討論可以看出 ， 相關(guān)系數(shù) r 表示兩個(gè)隨機(jī)變量 x 與 y 之間線性相關(guān)的密切程度 。 實(shí)際上 ， 此時(shí) x 與 y 之間有確定性的線性關(guān)系 。 所有的點(diǎn)都在一條直線上 ， 即散點(diǎn)都落在回歸直線上 。 當(dāng) r 的絕對(duì)值比較大時(shí) ， 散點(diǎn)遠(yuǎn)離回歸直線較為分散；當(dāng) r 的絕對(duì)值較大時(shí) ， 散點(diǎn)分布就靠近直線 。當(dāng) r ＞ 0 時(shí) b＞ 0 ， 散點(diǎn)分布有隨 x 增加 y 增加的趨勢(shì) ， 此時(shí)稱 x 與 y 是正相關(guān) ， 如 圖 （ b） 所示 。 （ 2） 0≤｜ r｜ ≤1。 故 x 與 y 之間沒(méi)有線性關(guān)系 。 r 取值不同時(shí)的散點(diǎn)分布情況示于圖 ，具體分析如下： （ 1） r = 0 時(shí) 。 2121)()?(???????miimiiyyyyr回歸平方和 總平方和 （ 532） r 1 時(shí)，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)誤差很?。ㄔ囼?yàn)點(diǎn)與回歸點(diǎn)幾乎吻合），回歸方程才有意義。 回歸方程可作如下預(yù)報(bào)： )( ?置信水平Sbxay ???波動(dòng)原因 自由度 方差1 4 2 2 5 24 7 1 . 04 2 3 9 . 12 1 . 7 01 4 6 4 9 1總計(jì)表 5 3 一元直線回歸方程方差分析示例平方和1回歸殘差??????4 39 )?(2xyiblyy??????? 4 91)?(2xyyyiibllyy2?m????yyilyy2)( 1?m????22mbllSxyyy?S將例 53中。 產(chǎn)生原因：包括隨機(jī)誤差 、 那些影響很小但尚未考慮的因素 。這時(shí) ， 所有的觀測(cè)點(diǎn)都靠近或落在回歸線上 ， 這就表明回歸直線的精度較高 。這一部分不能通過(guò)回歸方程計(jì)算出來(lái) ，它是 yi 波動(dòng)中與 x 無(wú)關(guān)的部分 。 總平方和可以分解成兩部分 ， 回歸平方和與殘差平方和 。 ???mii yy12)?(代表 x 變化所引起的 y 值變化大小的量 ，即 yi 波動(dòng)中 ， 可以通過(guò)回歸方程計(jì)算出來(lái)的那一部分 ， 稱之為 回歸平方和 。 方差分析 由 x 預(yù)報(bào) ， 精確度如何 ？ 用 方差分析 解決這一問(wèn)題 。 上述回歸直線的具體計(jì)算 ， 通常都是列表進(jìn)行的 ，本節(jié)的示例 ， 具體計(jì)算見(jiàn) 表 52。 與 x 的關(guān)系大致呈直線關(guān)系，但并不是確定性的關(guān)系，而是一種相關(guān)關(guān)系： y?bxay ???回歸系數(shù) （ 5—11） 最佳估計(jì)值應(yīng)使其殘差平方和最小，殘差為： )( iii bxaye ???（ 5—12） 圖 5—表 5—1 時(shí)間 x ， m in 3 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120腐蝕深度 y ， ? u 40 60 80 130 160 170 190 250 250 290 460表 51 試驗(yàn)數(shù)據(jù) 圖5 —2 散點(diǎn)圖y = 3 . 2 1 4 9 x + 4 5 . 0 0 7R2 = 0 . 9 7 1 101002003004005000 20 40 60 80 100 120 140時(shí)間 x腐蝕深度 ybxay ???. 其平方和為： ? ?2112 )(????????miiimii bxayeS（ 5—13） 平方和最小，即： ? ??????????????????????????0)(20)(211miiiimiiibxayxbSbxayaS（ 5—14） 得正規(guī)方程組： ?????????????????????imiimiimiimiimiiyxxbxayxbam112111 （ 5—15） 令平均值為： ?????????????miimiimyymxx11 （ 5—16） 由 5—11得： ?????????xbyayxba（ 5—17） （ 5—18） 由 式（ 5—15） 得： ? ?? ??? ?? ?????????????????????????????mimiiimimiimiiiixmxyxmyxb12121 1111 ????????miimiiixxyyxxb121)())((（ 5—19） 式中 ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ????????????mimimiiiiimiiimimimiiiiimiiiyxmyxyxmyxyxmxyyxyxyyxx1 1 111 1 11))((1)()())((（ 5—20） 由式 (518)和式 (519)可以求得回歸直線方程式中的常數(shù) a及回歸系數(shù) b。求出 x， y之間的線性關(guān)系。 直線的回歸 一元直線回歸分析 對(duì)一元線性回歸而言 ， 就是配直線的問(wèn)題 ， 下面通過(guò)例題加以分析說(shuō)明 。 圖 iy?38141514108y = 3 2 + 0246810121416180 5 10 15 20xyx 1 3 6 8 10 13 163 8 14 15 14 10 8y i e i iy?5 .2 最小二乘法原理 這里假定 xi 無(wú)誤差。如果誤差服從正態(tài)分布 ， 則概率 P(e1, e2, … , em)為： ??????? mi imi iieyyS1212)?( （ 5—7） 當(dāng) P最大時(shí) ， 求得的曲線就應(yīng)當(dāng)是最佳形式 。 如果 m 對(duì)觀測(cè)值中有比較多的 y 值落到曲線 （ 5—1） 上 ， 則所得曲線就能較為滿意地反映被測(cè)物理量之間的關(guān)系 ， y 值同時(shí)出現(xiàn)的概率最大 ，則曲線 （ 5—3） 就是曲線 （ 5—1） 的最佳形式 。
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