【正文】 2， 2）， ? ， An（ an， n）（ n∈ N*） 在函數(shù) y=log x的圖象上，則數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 ；設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) Mn（ an， 0）（ n∈ N*），則 △OA 1M1， △OA 2M2， ? ， △OA nMn中，面積的最大值是 ． 14．設(shè)集合 A={（ m1， m2， m3） |m2∈ {﹣ 2， 0， 2}， mi=1， 2， 3}}，集合 A中所有元素的個(gè)數(shù)為 ；集合 A 中滿足條件 “2≤|m 1|+|m2|+|m3|≤5” 的元素個(gè)數(shù)為 ． 三、解答題：本大題共 6小題，共 80分． 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．在梯形 ABCD中， AB∥CD ， CD=2， ∠ADC=120176。 ， AD=DC= AB=1．直角梯形 ABEF可以通過直角梯形 ABCD以直線 AB 為軸旋轉(zhuǎn)得到，且平面 ABEF⊥ 平面 ABCD． （ Ⅰ ）求證： FA⊥BC ； （ Ⅱ ）求直線 BD和平面 BCE所成角的正弦值； （ Ⅲ ）設(shè) H為 BD的中點(diǎn)， M， N分別為線段 FD， AD上的點(diǎn)（都不與點(diǎn) D重合）．若直線 FD⊥平面 MNH，求 MH的長(zhǎng)． 18．已知點(diǎn) M為橢圓 C： 3x2+4y2=12的右頂 點(diǎn)，點(diǎn) A， B是橢圓 C上不同的兩點(diǎn)（均異于點(diǎn) M），且滿足直線 MA與直線 MB 斜率之積為 ． （ Ⅰ ）求橢圓 C的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)； （ Ⅱ ）試判斷直線 AB是否過定點(diǎn)：若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說明理由． 19．已知函數(shù) f（ x） =（ x2﹣ a） ex， a∈ R． （ Ⅰ ）當(dāng) a=0時(shí)，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅱ ）若在區(qū)間（ 1， 2）上存在不相等的實(shí)數(shù) m， n，使 f（ m） =f（ n）成立，求 a的取值范圍； （ Ⅲ ）若函數(shù) f（ x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn) x1， x2，求證： f（ x1） f（ x2）＜ 4e﹣ 2． 20．已知數(shù)列， An： a1， a2， ? ， an（ n≥2 ， n∈ N*）是正整數(shù) 1， 2， 3， ? ， n的一個(gè)全排列．若對(duì)每個(gè) k∈ {2， 3， ? ， n}都有 |ak﹣ ak﹣ 1|=2或 3，則稱 An為 H數(shù)列． （ Ⅰ ）寫出滿足 a5=5的所有 H數(shù)列 A5； （ Ⅱ ）寫出一個(gè)滿足 a5k（ k=1， 2， ? ， 403）的 H數(shù)列 A2020的通項(xiàng)公式； （ Ⅲ ）在 H數(shù)列 A2020中，記 bk=a5k（ k=1， 2， ? ， 403）．若數(shù)列 {bk}是公差為 d的等差數(shù)列，求證： d=5或﹣ 5． 2020年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷 （理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 8小題，每小題 5分，共 40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)） 1．已知集合 A={x|x2＞ 1}，集合 B={x|x（ x﹣ 2）＜ 0}，則 A∩B= （ ） A． {x|1＜ x＜ 2} B． {x|x＞ 2} C． {x|0＜ x＜ 2} D． {x|x≤1 ，或 x≥2} 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算． 【專題】 集合． 【分析】 分別求出 A與 B中不等式的解集確定出 A與 B，找出兩集合的交集即可． 【解答】 解：由 A中不等式解得： x＞ 1或 x＜﹣ 1，即 A={x|x＜﹣ 1或 x＞ 1}， 由 B中不等式解得： 0＜ x＜ 2，即 B={x|0＜ x＜ 2}， 則 A∩B={x|1 ＜ x＜ 2}， 故選： A． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵． 2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 n的值是（ ） A． 7 B． 10 C． 66 D． 166 【考點(diǎn)】 程序框圖． 【專題】 圖表型；算法和程序框圖． 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 n， S的值，當(dāng) S=166時(shí)滿足條件 S＞ 100，退出循環(huán)，輸出 n的值為 10． 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 S=1， n=1 n=4， S=17， 不滿足條件 S＞ 100， n=7， S=66 不滿足條件 S＞ 100， n=10， S=166 滿足條件 S＞ 100，退出循環(huán)，輸出 n的值為 10． 故選： B． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 n， S的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查． 3．設(shè) i為虛數(shù)單位， m∈ R， “ 復(fù)數(shù) m（ m﹣ 1） +i是純虛數(shù) ” 是 “m=1” 的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條 件與充要條件的判斷；復(fù)數(shù)的基本概念． 【專題】 簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)． 【分析】 直接利用復(fù)數(shù)的基本概念以及充要條件判斷即可． 【解答】 解：復(fù)數(shù) m（ m﹣ 1） +i是純虛數(shù)，則 m=0或 m=1， 顯然 m=1，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)， 所以， “ 復(fù)數(shù) m（ m﹣ 1） +i是純虛數(shù) ” 是 “m=1” 的必要不充分條件． 故選： B． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，充要條件的判斷，基本知識(shí)的考查． 4．已知平面上三點(diǎn) A， B， C，滿足 | |=6， | |=8， | |=10，則 ? + ? + ?=（ ） A． 48 B．﹣ 48 C． 100 D．﹣ 100 【考點(diǎn)】 平 面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【專題】 平面向量及應(yīng)用． 【分析】 利用勾股定理的逆定理判斷三角形為直角三角形，然后進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，注意向量的夾角． 【解答】 解：由題意 | |2+| |2=| |2=100，所以 △ABC 是直角三角形， ∠A=90176。 x B． y=177。 x D． y=177。 ） ∴ 解得： ， 則漸近線方程為 y=177。N的長(zhǎng)，再表示出求出梯形 MNC′B′ 面積，進(jìn)而求出最小值． 【解答】 解：如圖，過 N作 NR⊥AB 與 R，則 RN=BC=1， 連 BB′ ，交 MN于 Q．則由折疊知， △MBQ 與 △MB′Q 關(guān)于直線 MN 對(duì)稱，即 △MBQ≌△MB′Q ， 有 BQ=B′Q ， MB=MB′ ， MQ⊥BB′ ． ∵∠A=∠MQB ， ∠ABQ=∠ABB′ ， ∴△MQB∽△B′AB ， ∴ ． 設(shè) AB′=x ，則 BB′= ， BQ= ，代入上式得： BM=B39。 ， ∠ABB′+∠BMQ=90176。N=CN=BR=MB﹣ MR= （ 1+x2）﹣ x= （ x﹣ 1） 2． ∴S 梯形 MNC′B′ = [ （ x﹣ 1） 2+ （ x2+1） ]1= （ x2﹣ x+1） = （ x﹣ ） 2+ ， 得當(dāng) x= 時(shí)，梯形面積最小，其最小值 ． 故選： B． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、全 等三角形的判定和性質(zhì)及翻轉(zhuǎn)變換，是一道綜合題，有一定的難度，這要求學(xué)生要熟練掌握各部分知識(shí)，才能順利解答這類題目． 二、填空題：本小題共 6小題，每小題 5分，共 30分． 9．（ 1﹣ ） 4展開式中含 x﹣ 3項(xiàng)的系數(shù)是 ． 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 【專題】 二項(xiàng)式定理． 【分析】 寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由 x得指數(shù)為 3求得 r值，代入通項(xiàng)中求得答案． 【解答】 解：由 ， 令﹣ r=﹣ 3，得 r=3． ∴ （ 1﹣ ） 4展開式中含 x﹣ 3項(xiàng)的系數(shù)是 ． 故答案為： ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，是基