【正文】 2020 年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題（共 8小題，每小題 5分，共 40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)） 1．已知集合 A={x|x2＞ 1}，集合 B={x|x（ x﹣ 2）＜ 0}，則 A∩B= （ ） A． {x|1＜ x＜ 2} B． {x|x＞ 2} C． {x|0＜ x＜ 2} D． {x|x≤1 ，或 x≥2} 2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 n的值是（ ） A． 7 B． 10 C． 66 D． 166 3．設(shè) i為虛數(shù)單位 ， m∈ R， “ 復(fù)數(shù) m（ m﹣ 1） +i是純虛數(shù) ” 是 “m=1” 的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 4．已知平面上三點(diǎn) A， B， C，滿足 | |=6， | |=8， | |=10，則 ? + ? + ?=（ ） A． 48 B．﹣ 48 C． 100 D．﹣ 100 5．已知函數(shù) f（ x） =2sin（ x+ ），若對任意的實(shí)數(shù) x，總有 f（ x1） ≤f （ x） ≤f （ x2），則 |x1﹣ x2|的最 小值是（ ） A． 2 B． 4 C． π D． 2π 6．已知雙曲線 ﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）與拋物線 y2=4x有一個公共的焦點(diǎn) F，且兩曲線的一個交點(diǎn)為 P．若 |PF|= ，則雙曲線的漸近線方程為（ ） A． y=177。 x B． y=177。2x C． y=177。 x D． y=177。 x 7．已知函數(shù) f（ x） = ， x∈ R，若對任意 θ ∈ （ 0， ]，都有 f（ sinθ ） +f（ 1﹣ m）＞ 0成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是（ ） A．（ 0， 1） B．（ 0， 2） C．（﹣ ∞ ， 1） D．（﹣ ∞ ， 1] 8．如圖，將一張邊長為 1的正方形紙 ABCD折疊，使得點(diǎn) B始終落在邊 AD 上，則折起部分面積的最小值為（ ） A． B． C． D． 二、填空題：本小題共 6小題，每小題 5分，共 30分． 9．（ 1﹣ ） 4展開式中含 x﹣ 3項(xiàng)的系數(shù)是 ． 10．已知圓 C的圓心在直線 x﹣ y=0上 ，且圓 C與兩條直線 x+y=0和 x+y﹣ 12=0都相切，則圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ． 11．如圖，已知圓 B的半徑為 5，直線 AMN與直線 ADC為圓 B的兩條割線，且割線 AMN過圓心 B．若 AM=2， ∠CBD=60176。 ，則 AD= ． 12．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積為 ． 13．已知點(diǎn) A1（ a1， 1）， A2（ a2， 2）， ? ， An（ an， n）（ n∈ N*） 在函數(shù) y=log x的圖象上，則數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 ；設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) Mn（ an， 0）（ n∈ N*），則 △OA 1M1， △OA 2M2， ? ， △OA nMn中，面積的最大值是 ． 14．設(shè)集合 A={（ m1， m2， m3） |m2∈ {﹣ 2， 0， 2}， mi=1， 2， 3}}，集合 A中所有元素的個數(shù)為 ；集合 A 中滿足條件 “2≤|m 1|+|m2|+|m3|≤5” 的元素個數(shù)為 ． 三、解答題：本大題共 6小題，共 80分． 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．在梯形 ABCD中， AB∥CD ， CD=2， ∠ADC=120176。 ， cos∠CAD= ． （ Ⅰ ）求 AC的長； （ Ⅱ ）求梯形 ABCD的高． 16．某學(xué)科測試中要求考生從 A， B， C三道題中任選一題作答，考試結(jié)束后，統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示共有 600名學(xué)生參加測試，選擇 A， B， C三題答卷數(shù)如表： 題 A B C 答卷數(shù) 180 300 120 （ Ⅰ ）某教師為了解 參加測試的學(xué)生答卷情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從 600份答案中抽出若干份答卷，其中從選擇 A題作答的答卷中抽出了 3份，則應(yīng)分別從選擇 B， C題作答的答卷中各抽出多少份？ （ Ⅱ ）若在（ Ⅰ ）問中被抽出的答卷中， A， B， C三題答卷得優(yōu)的份數(shù)都是 2，從被抽出的A， B， C三題答卷中再各抽出 1份，求這 3份答卷中恰有 1份得優(yōu)的概率； （ Ⅲ ）測試后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示， B題的答卷得優(yōu)的有 100份，若以頻率作為概率，在（ Ⅰ ）問中被抽出的選擇 B題作答的答卷中，記其中得優(yōu)的份數(shù)為 X，求 X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX． 17．如圖，在直角梯形 ABCD中， AB∥CD ， ∠DAB=90176。 ， AD=DC= AB=1．直角梯形 ABEF可以通過直角梯形 ABCD以直線 AB 為軸旋轉(zhuǎn)得到，且平面 ABEF⊥ 平面 ABCD． （ Ⅰ ）求證： FA⊥BC ； （ Ⅱ ）求直線 BD和平面 BCE所成角的正弦值； （ Ⅲ ）設(shè) H為 BD的中點(diǎn)， M， N分別為線段 FD， AD上的點(diǎn)（都不與點(diǎn) D重合）．若直線 FD⊥平面 MNH，求 MH的長． 18．已知點(diǎn) M為橢圓 C： 3x2+4y2=12的右頂 點(diǎn)，點(diǎn) A， B是橢圓 C上不同的兩點(diǎn)（均異于點(diǎn) M），且滿足直線 MA與直線 MB 斜率之積為 ． （ Ⅰ ）求橢圓 C的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)； （ Ⅱ ）試判斷直線 AB是否過定點(diǎn)：若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說明理由． 19．已知函數(shù) f（ x） =（ x2﹣ a） ex， a∈ R． （ Ⅰ ）當(dāng) a=0時，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅱ ）若在區(qū)間（ 1， 2）上存在不相等的實(shí)數(shù) m， n，使 f（ m） =f（ n）成立，求 a的取值范圍； （ Ⅲ ）若函數(shù) f（ x）有兩個不同的極值點(diǎn) x1， x2，求證： f（ x1） f（ x2）＜ 4e﹣ 2． 20．已知數(shù)列， An： a1， a2， ? ， an（ n≥2 ， n∈ N*）是正整數(shù) 1， 2， 3， ? ， n的一個全排列．若對每個 k∈ {2， 3， ? ， n}都有 |ak﹣ ak﹣ 1|=2或 3，則稱 An為 H數(shù)列． （ Ⅰ ）寫出滿足 a5=5的所有 H數(shù)列 A5； （ Ⅱ ）寫出一個滿足 a5k（ k=1， 2， ? ， 403）的 H數(shù)列 A2020的通項(xiàng)公式； （ Ⅲ ）在 H數(shù)列 A2020中，記 bk=a5k（ k=1， 2， ? ， 403）．若數(shù)列 {bk}是公差為 d的等差數(shù)列，求證： d=5或﹣ 5． 2020年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷 （理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 8小題，每小題 5分，共 40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)） 1．已知集合 A={x|x2＞ 1}，集合 B={x|x（ x﹣ 2）＜ 0}，則 A∩B= （ ） A． {x|1＜ x＜ 2} B． {x|x＞ 2} C． {x|0＜ x＜ 2} D． {x|x≤1 ，或 x≥2} 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算． 【專題】 集合． 【分析】 分別求出 A與 B中不等式的解集確定出 A與 B，找出兩集合的交集即可． 【解答】 解：由 A中不等式解得： x＞ 1或 x＜﹣ 1，即 A={x|x＜﹣ 1或 x＞ 1}， 由 B中不等式解得： 0＜ x＜ 2，即 B={x|0＜ x＜ 2}， 則 A∩B={x|1 ＜ x＜ 2}， 故選： A． 【點(diǎn)評】 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．