【正文】 ??????????????????????????? 在力法典型方程的前面 n項(xiàng)中 ， 位于從左上方至右下方的一條主對角線上的系數(shù) δii稱 為主系數(shù) ，它表示 Xi=1時 ， 引起的基本結(jié)構(gòu)上沿 Xi方向上的位移 ， 它可利用 圖自乘求得 ,其值恒為正值；主對角線兩側(cè)的系數(shù) δij(i≠j)稱為 副系數(shù) ， 它表示 Xj =1時 ，引起的基本結(jié)構(gòu)上沿 Xi方向上的位移 ， 它可利用 圖與 圖互乘求得 。 ????????????????????000F3333232131F2323222121F1313212111ΔΧΧΔΧΧΔΧΧ?????????根據(jù)疊加原理 ， 上面的位移條件可以表示為 = + + + X2 X1 X3 （ b） X2 （ d） （ e） X3 （ f） 圖FM1F 3F 2F （ c） X1 式中： δ11 、 δ2 δ31 —— 當(dāng) X1＝ 1時引起的基本結(jié) 構(gòu)上沿 X1 、 X2 、 X3方向上的位移 [圖 (c)]； δ1 δ2 δ32 —— 當(dāng) X2＝ 1時引起的基本結(jié)構(gòu)上沿X1 、 X2 、 X3方向上的位移 [圖 (d)]； δ1 δ2 δ33—— 當(dāng) X3＝ 1時引起的基本結(jié)構(gòu)上沿X1 、 X2 、 X3方向上的位移 [圖 (e)]； Δ1F、 Δ2F、 Δ3F—— 荷載引起的基本結(jié)構(gòu)上沿 X1 、X2 、 X3方向上的位移 [圖 (f)]。 X2 X1 X3 （ a） （ b） 由于原結(jié)構(gòu) C處為固定支座 ， 其線位移和角位移都為零 。 圖 (a)所示為一個三次超靜定剛架 ， 荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形如圖中虛線所示 。 F11 MXMM ??1M（ c） 綜上所述 ， 力法是以多余未知力作為基本未知量 ， 以去掉多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu) ，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余約束處與原結(jié)構(gòu)完全相同的位移條件建立力法方程 ， 求解多余未知力 ， 從而把超靜定結(jié)構(gòu)的計算問題轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)的計算問題 。 1MqlΧ 8311F11 ??? ??(a) MF 圖 圖)b( 1MX1 多余未知力 X1求出后 ， 將已求得的多余力 X1與荷載 q共同作用在基本結(jié)構(gòu)上 , 就可以按求解靜定結(jié)構(gòu)的方法 ， 求出原結(jié)構(gòu)的其余反力和內(nèi)力 ， 最后繪出原結(jié)構(gòu)的彎矩圖 ， 如圖 （ c） 所示 。 所以 ， 可用圖 乘 圖 ， 即 圖自乘 ， 則有 1M1M1M1M 1MEIllllEI 332211 311 ???????X1 同理可用 圖乘 MF圖計算 Δ1F EIqllqllEIΔ 84321311 421F ???????將 δ11和 Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力X1。 為了具體計算位移 δ11和 Δ1F， 可分別繪出基本結(jié)構(gòu)在荷載 q和 X1＝ 1單獨(dú)作用下的 MF圖和 圖 [圖 (a，b)]， 然后用圖乘法計算 。 因?yàn)?δ11和 Δ1F均為已知力作于靜定結(jié)構(gòu)時 ， 引起的 B點(diǎn)沿 X1方向上的位移 ， 所以由靜定結(jié)構(gòu)的位移計算方法可以求得 。 X1 ， 則 δ11 所以 ， 在基本結(jié)構(gòu)圖 (b) 中 ，B點(diǎn)由荷載 q與多余未知力 X1共同作用下在 X1方向上的位移 Δ1也應(yīng)該為零 ， 即 Δ1=0 上式稱為基本結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的原結(jié)構(gòu)的位移條件 ， 設(shè)Δ1F[圖 (c)]和 Δ11[圖 (d)]分別表示荷載 q與多余末知力 X1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)上時 ， 引起的 B點(diǎn)沿 X1方向上的位移 。 設(shè)基本結(jié)構(gòu)在 B點(diǎn)沿 X1方向上的位移為 Δ1。 (b)基本結(jié)構(gòu) X1 在圖 (b)所示的基本結(jié)構(gòu)上 ， 多余未知力 X1是代替原結(jié)構(gòu)支座 B的作用 。 (b)基本結(jié)構(gòu) X1 只要能夠求出多余未知力 X1， 原結(jié)構(gòu)的計算問題就轉(zhuǎn)變?yōu)殪o定的基本結(jié)構(gòu)在荷載 q及多余未知力X1共同作用下的靜定結(jié)構(gòu)計算問題了 。 它承受著與圖 （ a） 所示原結(jié)構(gòu)相同的荷載和多余未知力 。 如圖所示一端固定 、 另一端鉸支的梁 ， 該梁有一個多余約束 ， 是一次超靜定結(jié)構(gòu) 。 力法 力法計算超靜定結(jié)構(gòu) ， 是以靜定結(jié)構(gòu)為計算對象 ， 把多余未知力作為基本未知量 ， 根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立力法方程 ， 從而把計算超靜定結(jié)構(gòu)多余未知力的問題轉(zhuǎn)化為計算靜定結(jié)構(gòu)的問題 。 位移法是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量 ，由平衡條件建立位移法方程求解位移 ， 利用位移和內(nèi)力之間的關(guān)系計算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力 ， 從而把超靜定結(jié)構(gòu)的計算問題轉(zhuǎn)化為單跨超靜定梁的計算問題 。 由于超靜定結(jié)構(gòu)的類型有多種 ， 不同類型的超靜定結(jié)構(gòu)適宜采用的計算方法也不同 ， 常用的計算超靜定結(jié)構(gòu)的方法有以下 。 超靜定結(jié)構(gòu)的計算方法 由于超靜定結(jié)構(gòu)具有多余約束 ， 存在對應(yīng)的多余未知力 ， 這就使未知力的個數(shù)多于可列出的靜力平衡方程數(shù) 。 如圖 (a)所示的剛架 ， 如果去掉一個支座處的豎向支桿 ， 即變成了如圖 (b)所示瞬變體系 ， 這是不允許的 。 但要注意所去掉的約束必須是多余約束 。 然而 ， 對于同一個超靜定結(jié)構(gòu) ，可用各種不同的方式去掉多余約束而得到不同的靜定結(jié)構(gòu) 。 (a) (b) c X1 X2 MA X1 X2 X1 X2 X3 X3 改為鉸支座 ， 相當(dāng)于去掉一個約束 ， 如圖所示 。 X1 (a) (b) X1 X2 ， 相當(dāng)于去掉兩個約束 ， 如圖所示 。 所以 ， 確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)的方法 ， 就是把原結(jié)構(gòu)中的多余約束去掉 ，使之變成靜定結(jié)構(gòu) ， 所去掉的多余約束的個數(shù)即為結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù) 。 （ a） （ b） F FBy FAx FAy F FBy MA FAx FAy 綜上所述 ， 存在多余約束 ， 單靠靜力平衡方程不能確定所有支座反力和內(nèi)力 ， 這就是超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)的根本區(qū)別 。 若從圖 （ a） 所示的剛架中去掉支桿 B， 其就變成了幾何可變體系 。 圖 （ b） 所示的剛架是一個超靜定結(jié)構(gòu) ， 有四個反力 ， 卻只能列出三個獨(dú)立的平衡方程 ， 它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一確定 。 概述 力法 位移法 力矩分配法 本章內(nèi)容 無剪力分配法 超靜定結(jié)構(gòu)計算方法分析 超靜定結(jié)構(gòu)的特性 小 結(jié) 本章內(nèi)容 概述 超靜定結(jié)構(gòu)的概念 超靜定結(jié)構(gòu)是工程中廣泛采用的一類結(jié)構(gòu) ，為了全面認(rèn)識超靜定結(jié)構(gòu) ， 我們把它與靜定結(jié)構(gòu)作一比較 。第九章 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力 內(nèi)容提要 超靜定結(jié)構(gòu)是工程中廣泛采用的結(jié)構(gòu)型式 。本章介紹超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)的確定方法；重點(diǎn)介紹計算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的常用方法 ，即力法 、 位移法和力矩分配法的基本概念 、 解題思路和計算方法；最后分析總結(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的特性 。 圖 （ a） 所示的剛架是一個靜定結(jié)構(gòu) ， 它的支座反力和各截面的內(nèi)力都可以由靜力平衡條件唯一確定 。 （ a） （ b） F FBy FAx FAy F FBy MA FAx FAy 再從幾何組成方面來分析 ， 圖 （ a）所示剛架和圖 （ b） 所示剛架都是幾何不變的 。而從圖 （ b） 所示剛架中去掉支桿 B， 則其仍是幾何不變的 ， 從幾何組成上看支桿 B是多余約束 ， 所以 ， 該體系有一個多余約束 ， 是一次超靜定結(jié)構(gòu) 。 超靜定次數(shù)的確定 超靜定次數(shù)就是結(jié)構(gòu)的多余約束的個數(shù) ， 也就是多余未知力的個數(shù) 。 通常情況下 ， 從超靜定結(jié)構(gòu)中去掉多余約束的方式有如下幾種： 根支桿 ， 相當(dāng)于去掉一個約束 ， 如圖所示 。 (a) (b) X1 X2 X1 X2 X1 X2 ， 相當(dāng)于去掉三個約束 ， 如圖所示 。 X1 (a) (b) (c) X1 用上述去掉多余約束的方式 ， 可以確定任何超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù) 。 但不論采用哪種方式 ， 所去掉的多余約束的數(shù)目必然是相等的 。 即去掉多余約束后 ， 體系必須是無多余約束的幾何不變體系 ， 原結(jié)構(gòu)中維持平衡的必要約束是絕對不能去掉的 。 所以 ， 此剛架支座處的豎向支桿不能作為多余約束 。 因此 ， 計算超靜定結(jié)構(gòu)的全部反力和內(nèi)力 ， 不僅要考慮靜力平衡條件 ， 同時必須要考慮位移條件 。 力法是以多余未知力作為基本未知量 ， 以靜定結(jié)構(gòu)計算為基礎(chǔ) ， 由位移條件建立力法方程求解出多余未知力 ， 從而把超靜定結(jié)構(gòu)計算問題轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)計算問題 。 力矩分配法是在位移法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種漸近解法 ， 它不需計算結(jié)點(diǎn)位移 ， 而是直接分析結(jié)構(gòu)的受力情況 ， 通過代數(shù)運(yùn)算直接得到桿端彎矩值 。 力法的基本原理 下面通過對一次超靜定結(jié)構(gòu)的分析 ， 闡述力法的基本原理 。 如果把支 桿 B作為多余約束去掉 ， 并代之以多余未知力 X1， 則原結(jié)構(gòu)就轉(zhuǎn)化為圖 （ b） 所示的靜定梁 。 我們把這種去掉多余約束用多余未知力來代替后的靜定結(jié)構(gòu)稱為按力法計算的 基本結(jié)構(gòu) 。 我們把多余未知力稱為力法計算的 基本未知量 。 因此 ， 基本結(jié)構(gòu)的受力和變形應(yīng)與原結(jié)構(gòu)完全相同 。 由于在原結(jié)構(gòu)圖 (a)中 ， 支座 B處的豎向位移等于零 。 由疊加原理 ， 有 Δ1 =Δ11 +Δ1F =0 = + (c) (d) (b)基本結(jié)構(gòu) X1 X1 由于 X1是末知力 ， 若以 δ11表示 X1＝ 1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時引起的 B點(diǎn)沿 X1方向上的位移 ， 即Δ11 = δ11 X1 +Δ1F =0 上式稱為 力法方程 ， 而 δ11稱為方程的 系數(shù) ， Δ1F稱為方程的 自由項(xiàng) 。 因此解力法方程可求出多余未知力 X1。 1M(a) MF 圖 圖1)b( MX1 (a) MF 圖 圖)b( 1M 由于 MF 圖和 圖分別是基本結(jié)構(gòu)在 X1＝ 1和荷載 q作用下的彎矩圖 ， 同時 圖又可理解成為求 B點(diǎn)的豎向位移而繪制的單位荷載作用下的彎矩圖 。 所得末知力 X1為正號，表示反力 X1的方向與所設(shè)的方向相同。 82ql82qlA B M圖 超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖M， 也可利用已經(jīng)繪出的 圖 和 MF 圖按疊加原理繪出 ，即 。 力法典型方程 前面用一次超靜定結(jié)構(gòu)說明了力法計算的基本原理 ， 下面以一個三次超靜定結(jié)構(gòu)為例進(jìn)一步說明力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的基本原理和力法的典型方程 。 （ a） 這里我們?nèi)サ艄潭ㄖё?C處的多余約束 ， 用多余未知力 X X2 、 X3代替 ， 得到如圖 (b)所示的基本結(jié)構(gòu) 。 所以 ， 基本結(jié)構(gòu)在荷載 q及 X X2 、 X3共同作用下 ， C點(diǎn)沿 X X2 、 X3方向的位移都等于零 ， 即基本結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的位移條件為 Δ1=0 Δ2=0 Δ3=0 X2 X1 X3 （ a） （ b） 上式就是三次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程 。 對于 n次超靜定結(jié)構(gòu) ， 用力法分析時 ， 去掉 n個多余約束 ， 代之以 n個多余未知力 ， 當(dāng)原結(jié)構(gòu)在去掉多余約束處的已知位移為零時 ， 采用上面同樣的方法可以得到 n個方程 ， 稱為 力法典型方程 。 1MiM jM根據(jù)位移互等定理可知副系數(shù) δij與 δji相等；方程組中最后一項(xiàng) △ iF不含未知力 ， 稱為 自由項(xiàng) 。副系數(shù)和自由項(xiàng)可能為正值 ， 可能為負(fù)值 ， 也可能為零 。 解力法方程求出多余未知力 Xi (i=1， 2， ? ，n)后 ， 就可以按靜定結(jié)構(gòu)的分析方法求其余反力和內(nèi)力 。 力法的計算步驟和舉例 根據(jù)以上所述 ， 用力法計算超靜定