數(shù)列極限的解法(15種)-展示頁
2024-09-07 01:58本頁面
【正文】 列的極限是極為方便的．。由于數(shù)列與級(jí)數(shù)在形式上的統(tǒng)一性，有時(shí)數(shù)列極限的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)求和，從而通過級(jí)數(shù)求和的知識(shí)使問題得到解決. ，（a1） 解：令，則，考慮級(jí)數(shù).，∴此級(jí)數(shù)收斂. 令=，再令=，∵ ∴==而 因此，原式=.9．利用級(jí)數(shù)收斂性判斷極限存在。在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中, 極限的思想和方法起著基礎(chǔ)性的作用，極限的基本思想自始至終對(duì)解決分析學(xué)中面臨的問題起關(guān)鍵作用，包括數(shù)列極限的求法、數(shù)列極限反應(yīng)的是數(shù)列變化的趨勢(shì)，其證明和求解也是數(shù)學(xué)分析題中的重點(diǎn)，主要原因是其證法與求法沒有固定的程序可循，方法多樣，技巧性強(qiáng)，涉及知識(shí)面較廣，因此在數(shù)學(xué)刊物上?？煽吹竭@類文章，但大多是對(duì)某一些或某一類數(shù)列極限的證明或求解，很少系統(tǒng)地探索數(shù)列極限證法和求法的基本技巧和方法. 隨著社會(huì)的快速發(fā)展及數(shù)學(xué)本身的發(fā)展,迫切地需要對(duì)這些方法進(jìn)行歸納. 當(dāng)前,有不少文獻(xiàn)對(duì)數(shù)列極限求解方法做了一些探討,如文獻(xiàn)[1][10],但是方法的應(yīng)用舉例較少,不全面. 在高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽及研究生入學(xué)考試中, 數(shù)列極限求解方法是經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型. 這些都說明: 數(shù)列極限求解方法是一個(gè)重要的研究課題. 本文作者將對(duì)有關(guān)數(shù)列極限求解的方法做比較全面系統(tǒng)的歸納,同時(shí)舉例進(jìn)行說明. 本文歸納了十五種方法.：設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，有，：.否則稱為發(fā)散數(shù)列.. 證：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立. 當(dāng)時(shí)，記，則，由 得，任給，則當(dāng)時(shí)，就有，即即 當(dāng) 綜上， 解： 柯西收斂準(zhǔn)則：數(shù)列收斂的充要條件是：正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有.：數(shù)列為收斂數(shù)列. 證，取，當(dāng)時(shí)，有由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列收斂.例4.（有界變差數(shù)列收斂定理）若數(shù)列滿足條件 ，則稱為有界變差數(shù)列，試證：有界變差數(shù)列一定收斂證：令那么單調(diào)遞增，由已知知有界，故收斂，從而正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有 此
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