微分中值定理的證明探討及其推廣-展示頁(yè)
2024-09-06 22:48本頁(yè)面
【正文】 矩形的面積，在數(shù)值上為矩形的面積，則在數(shù)值上，恰好是矩形與矩形的面積之差．（3） 證明 作輔助函數(shù) 顯然，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，因?yàn)樗砸虼?，滿足羅爾定理的條件，故至少存在一點(diǎn)，使得成立，即 ．定理得證．3．3 柯西定理的證明（用拉格朗日定理證明柯西定理） 拉格朗日中值定理[３]的幾何意義是：如果在連續(xù)曲線上，除端點(diǎn)外處處有不垂直與軸的切線，那么在曲線上至少有一點(diǎn)，使曲線在點(diǎn)處的切線平行于連接曲線兩端點(diǎn)的弦．如果曲線的方程以參數(shù)方程給出，那么，弦的斜率為由參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為 假定與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，于是曲線在點(diǎn)處的切線平行于弦，表示為這一事實(shí)將在下面證明．我們可以看到，柯西中值定理與拉格郎日中值定理有著密切的聯(lián)系．如果柯西定理中的（相應(yīng)地，），那么柯西定理就成了拉格郎日定理．我們知道，證明拉格郎日定理的關(guān)鍵是引入輔助函數(shù)由此想到，是否可以將上面輔助函數(shù)中的改成，相應(yīng)地把與分別換成與．以此作為證明柯西定理的輔助函數(shù)．這一想法在下面的證明中得到了證實(shí)．證明 首先證明，即由于滿足拉格朗日定理的條件，又．所以，由拉格朗日定理的結(jié)論，即可得，由于, 所以．下面證明（6）成立．為此，要引入輔助函數(shù)，如何引入輔助函數(shù)，過(guò)程如下：關(guān)于柯西中值定理證明中輔助函數(shù)的引入，我們?cè)O(shè)為,( )曲線滿足柯西中值定理的條件且，這樣，過(guò)、 的直線的斜率為現(xiàn)任取,得平面上一點(diǎn)，其中，過(guò)做直線的平行線 （6） （7） 其中為參數(shù)仍然過(guò)、 兩點(diǎn)做 軸的平行線，與這條直線交于、 兩點(diǎn)，得平行四邊行，顯然，這說(shuō)明曲線與直線 在 和時(shí)的縱坐標(biāo)之差相等． 由（6）式得代入（7）式得所以由此兩式可看出，如果做輔助函數(shù)則，就是．到此我們也可以知道,函數(shù)滿足羅爾定理的三個(gè)條件．特別地，若取則輔助函數(shù)為若取，則輔助函數(shù)為將換為，換為，換為，則有 當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，輔助函數(shù)有較為簡(jiǎn)單的形式故可設(shè)輔助函數(shù)為由定理的假設(shè)容易驗(yàn)證在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又 所以，滿足羅爾定理?xiàng)l件．由定理的條件知，在內(nèi)至少?gòu)脑谝稽c(diǎn)，使成立．由于所以，即得由于，由上式即可推得（6）式成立．4 微分中值定理的探討及其推廣4．1 對(duì)的探究在定理2．2的證法1中，從幾何上看就是曲線上
數(shù)學(xué)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1