高二數(shù)學(xué)三角變換與解三角形-展示頁
2024-11-24 17:43本頁面
【正文】 2 ) 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用條件把握不準(zhǔn)，易用錯(cuò)定理． ( 3 ) 運(yùn)算易出錯(cuò)． 主干知識(shí)梳理 1 ．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 ( 1 ) si n ( α 177。 ，BC ＝ 20 3 ( 海里 ) ， 在 △ D B C 中，由余弦定 理，得 CD2＝ BD2＋ BC2－2 BD － 6 0 176。＝5 3 ( 3 ＋ 1 )3 ＋ 12 ＝ 10 3 ( 海里 ) ． 又 ∠ D BC ＝ ∠ D BA ＋ ∠ A BC ＝ 3 0 176。 ＋ c o s 4 5 176。si n 4 5 176。 ＝5 ( 3 ＋ 3 ) si n 4 5 176。 . 在 △ D AB 中，由正弦定理，得DBsi n ∠ D AB＝ABsi n ∠ AD B， ∴ DB ＝AB ＋ 3 0 176。 ， ∴∠ AD B ＝ 1 8 0 176。 － 4 5 176。＝ 3 0 176。 且與 B 點(diǎn)相距 20 3 海里的 C 點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為 30 海里 / 時(shí)，該救援船到達(dá) D 點(diǎn)需要多長時(shí)間？ 解 由題意知 AB ＝ 5 ( 3 ＋ 3 ) 海里， ∠ D BA ＝ 9 0 176。 ， B 點(diǎn)北偏西 6 0 176。第 2 講 三角變換與解三角形 感悟高考 明確考向 ( 2 0 1 0 陜西 ) 如圖， A ， B 是海面上位于東西 方向相距 5 ( 3 ＋ 3 ) 海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位 于 A 點(diǎn)北偏東 45176。 的 D 點(diǎn) 有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于 B 點(diǎn)南偏西 60176。 － 6 0 176。 ， ∠ D AB ＝ 9 0 176。 ＝ 4 5 176。 － ( 4 5 176。 ) ＝ 1 0 5 176。 si n ∠ D ABsi n ∠ AD B＝5 ( 3 ＋ 3 ) si n 1 0 5 176。 si n 4 5 176。 c o s 6 0 176。 si n 6 0 176。 ＋ ( 9 0 176。 ) ＝ 60176。 BC β ) ＝ si n α c o s β 177。 β ) ＝ c o s α c o s β ? s i n α si n β . ( 3 ) t a n ( α 177。 t a n β1 ? t a n α t a n β. 2 ．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ( 1 ) si n 2 α ＝ 2 si n α c o s α . ( 2 ) c o s 2 α ＝ c o s2α － si n2α ＝ 2 c o s2α － 1 ＝ 1 － 2 s i n2α . ( 3 ) t a n 2 α ＝2 t a n α1 － t a n2α. 3 ． 三角恒等式的證明方法 ( 1 ) 從等式的一邊推導(dǎo)變形到另一邊，一般是化繁為簡(jiǎn)． ( 2 ) 等式的兩邊同時(shí)變形為同一個(gè)式子． ( 3 ) 將式子變形后再證明． 4 ．正弦定理 asi n A＝bsi n B＝csi n C＝ 2 R (2 R 為 △ AB C 外接圓的直徑 ) ． 變形： a ＝ 2 R s i n A ， b ＝ 2 R s i n B ， c ＝ 2 R s i n C . si n A ＝a2 R， si n B ＝b2 R， si n C ＝c2 R. a ∶ b ∶ c ＝ si n A ∶ s i n B ∶ s i n C . 5 ．余弦定理 a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c o s A ， b2＝ a2＋ c2－ 2 ac c o s B ， c2＝ a2＋ b2－ 2 ab c o s C . 推論： c o s A ＝b2＋ c2－ a22 bc， c o s B ＝a2＋ c2－ b22 ac， c o s C ＝a2＋ b2－ c22 ab. 變形： b2＋ c2－ a2＝ 2 bc c o s A ， a2＋ c2－ b2＝ 2 ac c o s B ， a2＋ b2－ c2＝ 2 ab c o s C . 6 ． 面積公式 S △ABC＝12bc si n A ＝12ac si n B ＝12ab s i n C . 7 ． 解三角形 ( 1 ) 已知兩角及一邊，利用正弦定理求解． ( 2 ) 已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一． ( 3 ) 已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解． ( 4 ) 已 知三邊，利用余弦定理求解． 熱點(diǎn)分類突破 題型一 三角變換及求值 例 1 ( 1 ) 已知 0 β π2 α π ，且 co s( α －β2) ＝－19， si n (α2－ β ) ＝23，求 co s( α ＋ β ) 的值； ( 2 ) 已知 α ， β ∈ (0 ， π) ，且 t a n ( α － β ) ＝12， t a n β ＝－17， 求 2 α － β 的值． 思維啟迪 ( 1 ) ( α －β2) － (α2－ β ) ＝α ＋ β2； ( 2 ) α ＝ ( α － β ) ＋ β ， 2 α － β ＝ α ＋ ( α － β ) ． 解 ( 1 ) ∵ 0 β π2 α π ， ∴ －π4α2－ β π2，π4 α －β2π ， ∴ c o s(α2－ β ) ＝ 1 － s i n2(α2－ β ) ＝53， si n ( α －β2) ＝ 1 － c o s2( α －β2) ＝4 59， ∴ c o sα ＋ β2＝ c o s [ (
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