【正文】 使其高易求，常把底面放在已知幾何體的某一面上． ( 2 ) 求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體變化為規(guī)則幾何體，易于求解． 變式訓(xùn)練 2 下圖是一幾何體的直觀圖、正視圖、俯視 圖、側(cè)視圖． ( 1 ) 若 F 為 PD 的中點(diǎn)，求證： AF ⊥ 面 P C D ； ( 2 ) 求幾何體 B EC － APD 的體積． ( 1 ) 證明 由幾何體的三視圖可知，底面 AB C D 是邊長(zhǎng)為 4 的正方形， PA ⊥ 平面 AB C D ， PA ∥ EB ， PA ＝ 2 EB＝ 4. ∵ PA ＝ AD ， F 為 PD 的中點(diǎn)， ∴ PD ⊥ AF . 又 ∵ CD ⊥ DA ， CD ⊥ PA ， ∴ CD ⊥ AF . ∴ AF ⊥ 平面 P C D . ( 2 ) 解 V BEC － A P D ＝ V C － A P E B ＋ V P － A C D ＝1312 (4 ＋2) 4 4 ＋1312 4 4 4 ＝803. 題型三 多面體與球 例 3 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于 底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為 3 ，底面周長(zhǎng)為 3 ，那么這個(gè)球的體積為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 思維啟迪 先根據(jù)已知條件及球與正六棱柱 的關(guān)系求出球的半徑，再利用球的體積公式易求結(jié)果． 解析 ∵ 底面是正六邊形且周長(zhǎng)為 3 ， ∴ 邊長(zhǎng)為12 . ∴ AD ＝ 1. AD 1 為球的直徑，其長(zhǎng)度為 3 ＋ 1 ＝ 2 ， ∴ R ＝ 1. ∴ V ＝43 π R3 ＝ 4π3 . 答案 3π4探究提高 ( 1 ) 涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系． ( 2 ) 若球面上四點(diǎn) P 、 A 、 B 、 C 構(gòu)成的線段 PA 、 PB 、 PC兩兩垂直，且 PA ＝ a ， PB ＝ b ， PC ＝ c ，則 4 R2＝ a2＋ b2＋ c2，把有關(guān)元素 “ 補(bǔ)形 ” 成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng) 方體 ( 或其他圖形 ) ，從而顯示出球的數(shù)量特征，這種方法是一種常用的好方法． 變式訓(xùn)練 3 ( 2 0 1 0 S 正方形A B C D遼寧 ) 如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是 1 ， 在其上用粗線畫(huà)出了某多面體的三視圖，則這個(gè) 多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 由正視圖和俯視圖可知幾何體是正方 體切割后的一部分 ( 四棱錐 C 1 － AB CD ) ，還原 在正方體中，如圖所示．多面體最長(zhǎng)的一條 棱即為正方體的體對(duì)角線，由正方體棱長(zhǎng) AB ＝ 2 知最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為 2 3 . 2 3 考題分析 本小題主要考查了考生對(duì)三視圖的理解和掌握情況，考查考生對(duì)幾何體中線段長(zhǎng)的求解運(yùn)算，考查了考生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力．本小題以四棱錐的三視圖為背景，突出考查了由平面圖形到空間幾何體的轉(zhuǎn)化過(guò)程．關(guān)于三視圖的問(wèn)題是新課標(biāo)高考的一個(gè)熱點(diǎn)． 易錯(cuò)提醒 ( 1 ) 不能將三視圖轉(zhuǎn)化為空間幾何體的直觀圖，是導(dǎo)致錯(cuò)誤的主要原因． ( 2 ) 不能準(zhǔn)確確定多面體中最長(zhǎng)的一條棱，故計(jì)算易出錯(cuò)． 主干知識(shí)梳理 1 ．棱柱、棱錐、棱臺(tái) ( 1 ) 棱柱的性質(zhì) 側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行 于底面的截面是全等的多邊形；過(guò)不相鄰的兩條側(cè) 棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等 且側(cè)面與對(duì)角面是矩形． ( 2 ) 正棱錐的性質(zhì) 側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰三角形，斜高相等； 棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影構(gòu)成一個(gè)直 角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影 也構(gòu)成一個(gè)直角 三角形；某側(cè)面的斜高、側(cè)棱及底 面邊長(zhǎng)的一半也構(gòu)成一個(gè)直角三角形；側(cè)棱在底面 內(nèi)的射影、斜高在底面內(nèi)的射影及底面邊長(zhǎng)的一半 也構(gòu)成一個(gè)直角三角形． ( 3 ) 正棱臺(tái)的性質(zhì) 側(cè)面是全等的等腰梯形；斜高相等；棱臺(tái)的高、斜高和兩底面的邊心距組成一個(gè)直角梯形；棱臺(tái)的高、側(cè)棱和兩底面外接圓的半徑組成一個(gè)直角梯形；棱臺(tái)的斜高、側(cè)棱和兩底面邊長(zhǎng)的一半也組成一個(gè)直角梯形． 2 ．圓柱、圓錐、圓臺(tái) ( 1 ) 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念 分別以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍 成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)． ( 2 ) 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì) 軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圓． 3 ．球 ( 1 ) 球面與球的概念 半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做球面． 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球．半圓的圓心叫做球的球心． ( 2 ) 球的截面性質(zhì) 球心和截面圓心的連線垂直于截面；球心到截面的距離 d 與球的半徑 R 及截面圓的半徑 r 的關(guān)系為 d＝ R2－ r2. 4 ．空間幾何體的三視圖 三視圖的正 ( 主 ) 視圖、側(cè) ( 左 ) 視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影形成的平面圖形，反映了一個(gè)幾何體各個(gè)側(cè)面的特點(diǎn)．任意一個(gè)物體的長(zhǎng)、寬、高一般指的是物體占有空間的左右、前后、上下的最大距離． 5 ．柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 ( 1 ) 直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積 S 直棱柱側(cè) ＝ Ch ， S 正棱錐側(cè) ＝12Ch ′ ， S 正棱臺(tái)側(cè) ＝12( C ＋ C ′ ) h ′ ( 其中 C 、 C ′ 為底面周長(zhǎng)， h 為高， h ′ 為斜高 ) ． ( 2 ) 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積 S 圓柱側(cè) ＝ 2π rl ， S 圓錐側(cè) ＝ π rl ， S 圓臺(tái)側(cè) ＝ π( r ＋ r ′ ) l ( 其中 r 、 r ′ 為底面半徑， l 為母線長(zhǎng) ) ． 柱或臺(tái)的表面積等于側(cè)面積與兩個(gè)底面積的和，錐 體的表面積是側(cè)面積與一個(gè)底面積的和． 6 ．柱體、錐體、臺(tái)體的體積 ( 1 ) 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 V 棱柱 ＝ Sh ， V 棱錐 ＝13Sh ， V 棱臺(tái) ＝13h ( S ＋ SS ′ ＋ S ′ ) ( 其中 S 、 S ′ 為底面積， h 為高 ) ． ( 2 ) 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積 V 圓柱 ＝ π r2h ， V 圓錐 ＝13π r2h ， V 圓臺(tái) ＝13π h ( r2＋ rr ′ ＋ r ′2) ( 其中 r 、 r ′ 為底面半徑， h 為高 ) ． 7 ．球的表面積與體積 ( 1 ) 半徑為 R 的球的表面積公式為 S 球 ＝ 4π R2. ( 2 ) 半徑為 R 的球的體積公式為 V 球 ＝43π R3. 熱點(diǎn)分類突破 題型一 空間幾何體的三視圖 例 1 下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，側(cè) ( 左 ) 視圖是一個(gè)等邊三角形，根據(jù)圖中尺寸 ( 單位： c m) ，可知這個(gè)幾何體的表面積是 ( ) A . ( 1 8 ＋ 3 ) c m2 B.21 32 cm2 C ． ( 1 8 ＋ 2 3 ) c m2 D ． (6 ＋ 2 3 ) c m2 思維啟迪 根據(jù)三視圖確定原幾何體及其有關(guān)數(shù)據(jù)，然后由公式求其表面積． 解析 由三視圖可得幾何體是一個(gè)正三棱柱．正三棱柱的高為 3 ，底面邊長(zhǎng)為 2. ∴ S 表 ＝ 2 3 3 ＋34 22 2 ＝ 18 ＋ 2 3 ( cm2) 故選 C. 答案 C 探究提高 ( 1 ) 解答此類問(wèn)題，首先由三視圖想象出幾何體的形狀，并由相 關(guān)數(shù)據(jù)得出幾何體中的量，進(jìn)而求得表面積或體積． ( 2 ) 掌握三視圖是正確解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，同時(shí)也體現(xiàn)了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，是高考的新動(dòng)向． 變式訓(xùn)練 1 一個(gè)幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示 ( 單位： m) 則該幾何體的體積為 ( ) A.73m3 B .92m3 C .72m3 D .94m3 解析 三視圖所表示的幾何體的直觀圖如圖． ∴ 幾何體的體積 V ＝ 3 13＋12 13＝72，故選 C. C 題型二 幾何體的體積 例 2 如圖，四邊形 AB C D 是邊長(zhǎng)為 2 的 正方形，直線 l 與平面 AB C D 平行， E 和 F 是 l 上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且 EA ＝ ED ， FB ＝ FC . E ′ 和 F ′ 是平面 AB C D 內(nèi)的兩點(diǎn)， EE ′ 和 FF ′ 都與平面 ABC D 垂直． ( 1 ) 證明：直線 E ′ F ′ 垂直且平分線段 AD ； ( 2 ) 若 ∠ E AD ＝ ∠ E AB ＝ 6 0 176。 本專題的目的就是指導(dǎo)和幫助考生在有限的時(shí)間內(nèi)以最高的效率復(fù)習(xí)，使考生在數(shù)學(xué)能力上有較大提升，在高考成績(jī)上有較大突破。專題四 立體幾何 專題內(nèi)容反映了作者近年來(lái)高考輔導(dǎo)的成功經(jīng)驗(yàn)和高考命題研究的最新成果，具有把握高考脈搏準(zhǔn)確、信息及時(shí)全面、材料新穎、方法靈活、講解透徹、點(diǎn)拔到位、注重分析、注重提高的特點(diǎn)。專題以提高能力和提高成績(jī)?yōu)橹笇?dǎo)思想，一方面，立足基礎(chǔ)，突出重點(diǎn)主干知識(shí)，注重分析