【正文】 zOByOAxOP 是 PABC四點(diǎn)共面的充要條件 . （簡(jiǎn)證： ????????? ACzAByAPOCzOByOAzyOP )1( P、 A、 B、 C四點(diǎn)共面） 注： ①② 是證明四點(diǎn)共面的常用方法 . （ 2） . 空間向量基本定理：如果 三個(gè)向量 ． ． ． ． cba , 不共面 ． ． ． ，那么對(duì)空間任一向量 P ，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x、 y、 z， 使 czbyaxp ??? . 推論：設(shè) O、 A、 B、 C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn) P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x、 y、 z 使 OCzOByOAxOP ??? (這里隱 含 x+y+z≠1) . 注：設(shè)四面體 ABCD的三條棱， , dADcACbAB ??? 其 中 Q是 △BCD 的重心，則向量 )(31 cbaAQ ???用 MQAMAQ ?? 即證 . 對(duì)空間任一點(diǎn) O和不共線的三點(diǎn) A、 B、 C，滿足 O P x O A y O B z O C? ? ?， 則四點(diǎn) P、 A、 B、 C是共面 ? 1x y z? ? ? OABCDOR分享智慧泉源 智愛學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛心喜樂 Wisdomamp。O r分享智慧泉源 智愛學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛心喜樂 Wisdomamp。O ，則 ?????? ACACOBACoo , 平面 ?????? F G HBOACBOO 90176。h ） ③ 棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：?cos底側(cè) SS ?（側(cè)面與底 面成的二面角為 ? ） 附：以知 c ⊥ l ， ba???cos ， ? 為二面角 bla ?? . 則 laS ??211① ， blS ??212② ， ba???cos ③ ? ① ② ③ 得 ?cos底側(cè) SS ?. 注： S為任意多邊形的面積（可分別 求 多 個(gè)三角形面積和的 方法） . ：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高） . ②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、 側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形 . l a bc分享智慧泉源 智愛學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛心喜樂 Wisdomamp。Love 第 4 頁 （共 32 頁） 2022 年 2 月 5 日星期六 ③ 過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形 . 注： ① 棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱 . （） （直棱柱不能保證底面是 矩 形 ,可如圖） ② （直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直 . ： 定理一： 平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn) ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ，并且在交點(diǎn)處互相平分 . [注 ]：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn) . 定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和 . 推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為 ??? , ，則 1c o sc o sc o s 222 ??? ??? . 推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的 角為 ??? , ，則 2c o sc o sc o s 222 ??? ??? . [注 ]： ① 有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱 .（）（斜 四棱柱 的兩個(gè)平行的平面可以為矩形） ② 各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 .（）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的 直 ． 棱柱才行） ③ 對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體 .（）（只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形） ④ 棱柱成為直棱柱的一個(gè)必 要不充分條件是 棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直 . （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件） （ 2） . 棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形 . [注 ]：①一個(gè) 三 棱錐四 個(gè) 面可以都為直角三角形 . ②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以 棱 柱棱 柱 3VShV ?? . a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面 正多邊形 的中心 . [注 ]： i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形 .（不是等邊三角形） ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形， 側(cè)棱與底棱不一定相等 iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形 . ②正棱錐的側(cè)面積： 39。 4. 平面平行與平面垂直 . （ 1） . 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行 . （ 2） . 平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面， 那 么這兩個(gè)平面平行 .（“線面平行 ? 面面平行”） 推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行 . POAa分享智慧泉源 智愛學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛心喜樂 Wisdomamp。 （ 3） .證共面問題一般 先 根據(jù)一部分條件確定一個(gè)平面，然后再證明 其余的也在這個(gè)平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合 2. 空間直線 . （ 1） . 空間直線位置關(guān)系 三種：相交、平行、異面 . 相交直線： 共面有且 僅有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：共面沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任一平面內(nèi) ，無公共點(diǎn) [注 ]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線 .（）（ 也 可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等） ②直線在平面外，指的位置關(guān)系是 平行或相交 ③若直線 a、 b異面， a平行于平面 ? ， b與 ? 的關(guān)系是相交、平行、在平面 ? 內(nèi) . ④ 兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是 一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn) . ⑤ 在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線 .（）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形） ⑥ 在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等 .（）（并非是從平面外 一點(diǎn) ． ． 向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段） ⑦ ba, 是夾在兩平行平面間的線段，若 ba? ， 則 ba, 的位置關(guān)系為 相交或平行或異面 . ⑧ 異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線 .（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線） （ 2） . 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 . 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如 右 圖） . （直線與直線所成角 ]90,0[ ???? ） （向量與向量所成角 ])180,0[ ???? 推論： 如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等 . （ 3） . 兩異面直線的距離：公垂線 段 的長(zhǎng)度 . 空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直 . [注 ]： 21,ll 是異面直線，則過 21,ll 外一點(diǎn) P，過點(diǎn) P且與 21,ll 都平行平面有一個(gè)或沒有，但與 21,ll 距離相等的 分享智慧泉源 智愛學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛心喜樂 Wisdomamp。 （ 1） .證明點(diǎn)共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)（依據(jù)：由點(diǎn)在線上，線在面內(nèi) ，推出點(diǎn)在面內(nèi)）， 這樣可根據(jù)公理 2證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的公共直線上。分享智慧泉源 智愛學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛心喜樂 Wisdomamp。Love 第 1 頁 （共 32 頁） 2022 年 2 月 5 日星期六 立體幾何 1．平面 平面的基本性質(zhì)：掌握三個(gè)公理及推論，會(huì)說明共點(diǎn)、共線、共面問題。 （ 2） .證明共點(diǎn)問題，一般是先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上，而這一點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這第三條直線是這兩個(gè)平面的交線。Love 第 2 頁 （共 32 頁） 2022 年 2 月 5 日星期六 點(diǎn)在同一平面內(nèi) . （ 1L 或 2L 在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫 1L 與 2L 平行的平面） 3. 直線與平面平行、直線與平面垂直 . （ 1） . 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi) . （ 2） . 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行 .（“線線平行 ? 線面平行”） [注 ]：①直線 a 與平面 ? 內(nèi)一條直線平行，則 a ∥ ? . （）（平面外一條直線） ②直線 a 與平面 ? 內(nèi)一條直線相交，則 a 與平面 ? 相交 . （）（平面外一條直線） ③若直線 a 與 平面 ? 平行，則 ? 內(nèi)必存在無數(shù)條直線與 a 平行 . （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之） ④ 兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面 . （）（可能在此平面內(nèi)） ⑤ 平行于同一個(gè)平面的兩直線平行 .（）（兩直線可能相交或者異面） ⑥ 直線 l 與平面 ? 、 ? 所成角相等，則 ? ∥ ? .（）（ ? 、 ? 可能相交） （ 3） . 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行 .（“線面平行 ? 線線平行”） （ 4） . 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直 . ? 若 PA ⊥ ? ， a ⊥ AO ，得 a ⊥ PO （三垂線定理）， ? 三垂線定理的逆定理亦成立 . 直線與平面垂直的 判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面 .（“線線垂直 ? 線面垂直”） 直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面 . 性質(zhì) ：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 . （ 5） .：從平面外 一點(diǎn) ． ． 向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短 . [注 ]：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn) . [一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線 .（） ] ：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上。Love 第 3 頁 （共 32 頁） 2022 年 2 月 5 日星期六 [注 ]：一平面 內(nèi) 的任一直線平行于另一平面 . （ 3） . 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行 .（“面面平行 ? 線線平行”） （ 4） . 兩個(gè)平面垂直判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直 . 兩個(gè)平面垂直判定二：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面 .（“線面垂直 ?面面垂直”） 注：如果兩個(gè)二面角的平面分別對(duì)應(yīng) 互相垂直，則兩個(gè)二面角沒有什么關(guān) 系 . （ 5） . 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面 . 推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面 . 簡(jiǎn)證 ：如圖， 在平面內(nèi)過 O作 OA、 OB 分別垂直于 21,ll ， 因?yàn)????? ???? OBPMOAPM , 則 OBPMOAPM ?? , .所以結(jié)論成立 （ 6） . 兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式： ?c os2222 mndnml ???? （ ? 為銳角取減 ， ? 為鈍角取 加，綜上，都取減 則必有 ??????? 2,0??） （ 1） . ： 21 coscoscos ??? ? （ 1? 為最小角，如圖） （∠ PBN 為最小角） 簡(jiǎn)記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有 4條 . 成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有 2條 . 成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有 3條或者 2條 . 成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有 1條或者沒有 . 5. 棱柱 . 棱 錐 （ 1） . 棱柱 . a.① 直棱柱側(cè)面積： ChS? （ C 為底面周長(zhǎng)， h 是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的 . ② 斜棱住側(cè)面積： lCS 1? （ 1C 是斜棱柱直截面周長(zhǎng)， l 是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的 . b.{四棱柱 }? {平行六面體 }? {直平行六面體 }? {長(zhǎng)方體 }? {正四棱柱