高考數(shù)學立體幾何大題30題-展示頁
2025-04-26 13:17本頁面
【正文】 II）解：延長NM，CD交于點E.∵PC⊥平面AMN，∴NE為CE在平面AMN內(nèi)的射影∴∠CEN為CD（即（CE）與平在AMN所成的角 ∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.在Rt△PMN中，∴CD與平面AMN所成的角的大小為 8．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90176。.∴△C1IH也是等腰直角三角形.由C1M=∴ 4．如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F(xiàn)是CD的中點． （Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積；（Ⅲ）求二面角CBED 的正切值． 證：（Ⅰ）取CE中點M，連結(jié)FM，BM，則有．∴四邊形AFMB是平行四邊形．∴AF//BM，∵平面BCE，平面BCE，∴AF//平面BCE． （Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，則DE⊥AF．又△ACD是等邊三角形，則AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE．又BM//AF，則BM⊥平面CDE．． （Ⅲ）設(shè)G為AD中點，連結(jié)CG，則CG⊥AD．由DE⊥平面ACD，平面ACD，則DE⊥CG，又AD∩DE=D，∴CG⊥平面ADEB．作GH⊥BE于H，連結(jié)CH，則CH⊥BE．∴∠CHG為二面角CBED的平面角． 由已知AB=1，DE=AD=2，則，∴．不難算出．∴，∴．∴．5．已知：ABCD是矩形，設(shè)PA=a，PA⊥、N分別是AB、PC的中點.（Ⅰ）求證：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大??；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求三棱錐D—AMN的體積.（Ⅰ）連結(jié)AC，AN. 由BC⊥AB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 則有BC⊥PB. 又BN是Rt△PBC斜邊PC的中線， 即. 由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，則AN是Rt△PAC斜邊PC的中線，即 又∵M是AB的中點， （也可由三垂線定理證明） （Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC. 則∠PDA為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角 由PA=a，設(shè)AD=BC=b，CD=AB=c， 又由AB=PD=DC，N是PC中點，則有DN⊥PC 又∵平面MND⊥平面PCD于ND， ∴PC⊥平面MND ∴PC⊥MN，而N是PC中點，則必有PM=MC. 此時.即二面角P—CD—A的大小為 （Ⅲ），∥＝連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)NO，則NO PA. 且NO⊥平面AMD，由PA=aABCDPA1B1C1D1第6題圖MN. 6．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分別為棱DDAB、BC的中點。（Ⅰ）求證：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱錐B—AEC的體積；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.證（Ⅰ）∵ABCD —A1B1C1D1是正四棱柱，∴D1D⊥ABCD.連AC，又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，由三垂線定理知 D1B⊥AC.同理，D1B⊥AE，AE∩AC = A，∴D1B⊥平面AEC . 解（Ⅱ）VB－AEC = VE－ABC . ∵EB⊥平面ABC，∴EB的長為E點到平面ABC的距離.∵Rt△ABE ~ Rt△A1AB，∴EB =∴VB－AEC = VE－ABC =S△ABC立體幾何大題1．如下圖，一個等腰直角三角形的硬紙片ABC中，∠ACB＝90176。AC＝4cm，CD是斜邊上的高沿CD把△ABC折成直二面角．ABC第1題圖ABCD第1題圖（1）如果你手中只有一把能度量長度的直尺，應該如何確定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？證明你的結(jié)論．（2）試在平面ABC上確定一個P，使DP與平面ABC內(nèi)任意一條直線都垂直，證明你的結(jié)論．（3）如果在折成的三棱錐內(nèi)有一個小球，求出小球半徑的最大值．解：（1）用直尺度量折后的AB長，若AB＝4cm，則二面角A－CD－B為直二面角．∵ △ABC是等腰直角三角形，又∵ AD⊥DC，BD⊥DC．∴ ∠ADC是二面角A－CD－B的平面角．（2）取△ABC的中心P，連DP，則DP滿足條件∵ △ABC為正三角形，且 AD＝BD＝CD．∴ 三棱錐D－ABC是正三棱錐，由P為△ABC的中心，知DP⊥平面ABC，∴ DP與平面內(nèi)任意一條直線都垂直．（3）當小球半徑最大時，此小球與三棱錐的4個面都相切，設(shè)小球球心為0，半徑為r，連結(jié)OA，OB，OC，OD，三棱錐被分為4個小三棱錐，且每個小三棱錐中有一個面上的高都為r，故有代入得，即半徑最大的小球半徑為． 2．如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面邊長為3，側(cè)棱長為4，連結(jié)A1B，過A作AF⊥A1B垂足為F，且AF的延長線交B1B于E。EB =33 = （10分） 解（Ⅲ）連CF， ∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，由三垂線定理知，CF⊥AE .于是，∠BFC為二面角B—AE—C的平面角，在Rt△ABE中，BF =，在Rt△CBF中，tg∠BFC =， ∴∠BFC = arctg.ABCA1B1C1M第3題圖即二面角B—AE—C的大小為arctg. 3．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為1，點M在BC上，△AMC1是以M為直角頂點的等腰直角三角形. （I）求證：點M為BC的中點； （Ⅱ）求點B到平面AMC1的距離； （Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.答案：（I）證明：∵△AMC1是以點M為直角頂點的等腰直角三角形， ∴AM⊥MC1且AM=MC1 ∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中， 有CC1⊥底面ABC. ∴C1M在底面內(nèi)的射影為CM， 由三垂線逆定理，得AM⊥CM. ∵底面ABC是邊長為1的正三角形， ∴點M為BC中點.（II）解法（一） 過點B作BH⊥C1M交其延長線于H. 由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB， ∴AM⊥平面C1CBB1. ∴AM⊥BH. ∴BH⊥平面AMC1. ∴BH為點B到平面AMC1的距離. ∵△BHM∽△C1CM. AM=C1M= 在Rt△CC1M中，可求出CC1 解法（二）設(shè)點B到平面AMC1的距離為h.則由（I）知 AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1∵AB=1，BM= （III）過點B作BI⊥AC1于I，連結(jié)HI. ∵BH⊥平面C1AM，HI為BI在平面C1AM內(nèi)的射影.∴HI⊥AC1，∠BIH為二面角M—AC1—B的平面角.在Rt△BHM
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