d8-3-多變量函數(shù)的微分和偏導(dǎo)數(shù)-展示頁
2025-08-03 18:36本頁面
【正文】 xxyy ???????????0),(yyyxfzxTM000 ),(dd00yyyxfyyfxxyy ??????是曲線 yTM0在點(diǎn) M0 處的切線 對 x 軸的斜率 . 在點(diǎn) M0 處的切線 斜率 . 是曲線 yxz0xyToxT0y0M機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對 y 軸的 函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在 , 顯然 例如 , ????????????0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0?0?注意： 但在該點(diǎn) 不一定連續(xù) . 上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(diǎn) (0 , 0)并不連續(xù) ! 二元函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)存在。 定理 如果 z=f (x, y) 的兩個偏導(dǎo)數(shù)在 M0(x0, y0)處都是連續(xù)的，則 f (x, y) 在 M0(x0, y0)處可微。 三、高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ),(,),( yxfyzyxfxz yx ??????若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)， )( xz??)( yzx ????)( xzy ????),()( 22yxfyzyzy yy????????則稱它們是 z = f ( x , y ) 的 二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同 , 有下列四個二階偏導(dǎo) 22xz???)。,(2yxfxy z xy?????x??機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù) : 類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù) . 例如， z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為 z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n –1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階 ) (y?? yxznn?????1機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)為 yxe 22 ??例 6. 求函數(shù) yxez 2?? .23xyz???解 : ???xz???22xz) ( 223xyzxxyz????????????yz???? xy z2???? yx z2 ???22 yz注意 :此處 ,22xyzyxz???????但這一結(jié)論并不總成立 . yxe 2? yxe 22 ?yxe 2? yxe 22 ?yxe 22 ? yxe 24 ?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的二階偏導(dǎo)數(shù)及 0,)(4 222224224????? yxyxyyxxxyfyf xxy ?????)0,0(),0(lim0?),( yxf y例如 , ?),( yxf x?)0,0(yxfxfxff yyxxy ??????)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等 yyy ?????? 0l i m 1??xxx ????? 0lim 1??),( yxf0,0 22 ?? yx0,)(
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