大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件8--展示頁
2024-08-09 04:43本頁面
【正文】 院數(shù)理系 1. 多元函數(shù)極值的定義 定義 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點 (x0,y0)的某個鄰域內(nèi)有定義 ,如果對 于該鄰域內(nèi)不同于 (x0,y0)的任何點 (x,y),都有 f(x,y)f(x0,y0)(或 f(x,y)f(x0,y0))，則稱函數(shù) f(x,y)在點 (x0,y0)處有極大值 (極小值 ) 極大值和極小值統(tǒng)稱為極值 ,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點 . 高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (0,0)處函數(shù)值為 R。 .例 2 函數(shù) (0,0,R)是上半球面 高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例 3 函數(shù) z=2xy 在點 (0,0)處不取得極值 .因為在 (0,0)點的任 一鄰域內(nèi) ,總有使函數(shù)值為正的點 ,也有使函數(shù)值為負的點 . 與一元函數(shù)類似 ,我們用偏導(dǎo)數(shù)來判定二元函數(shù)的極值 . 定理 1(極值存在的必要條件 ) 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點 (x0 ,y0)處 可微分且在點 (x0 ,y0)處有極值 ,則在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零 . 證明 : 只就極大值的情形加以證明 . 高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 因為函數(shù) z=f(x,y)在點 (x0 ,y0)處有極大值 ,所以對于 (x0 ,y0)的 某個鄰域內(nèi)不同于 (x0 ,y0 )的任一點 (x,y),有 f(x,y)f (x0 ,y0) 特別在該鄰域內(nèi)取點 (x ,y0 )(x≠x0),則上面不等式變?yōu)? f(x,y0)f (x0 ,y0 ) .這表明一元函數(shù) f (x,y0)在 x=x0處取極大值 . 因此有 fx(x0 ,y0)＝ 0， 從幾何上看 ,這時如果曲面 z=f(x,y)在點 =0 同理 fy (x0 ,y0)=0 成為平行坐標平面 xoy的平面 ),( 000 zyx))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????0zz? 0),(,0),( ?? yxfyxf yx.使 處有切 函數(shù) z=f(x,y)在點 平面 ,則切平面的方程 高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢
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