大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件8--文庫吧
2025-07-10 04:43 本頁面
【正文】 )在點(diǎn) (x0 ,y0)處 可微分且在點(diǎn) (x0 ,y0)處有極值 ,則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零 . 證明 : 只就極大值的情形加以證明 . 高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 因?yàn)楹瘮?shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0 ,y0)處有極大值 ,所以對于 (x0 ,y0)的 某個鄰域內(nèi)不同于 (x0 ,y0 )的任一點(diǎn) (x,y),有 f(x,y)f (x0 ,y0) 特別在該鄰域內(nèi)取點(diǎn) (x ,y0 )(x≠x0),則上面不等式變?yōu)? f(x,y0)f (x0 ,y0 ) .這表明一元函數(shù) f (x,y0)在 x=x0處取極大值 . 因此有 fx(x0 ,y0)＝ 0， 從幾何上看 ,這時如果曲面 z=f(x,y)在點(diǎn) =0 同理 fy (x0 ,y0)=0 成為平行坐標(biāo)平面 xoy的平面 ),( 000 zyx))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????0zz? 0),(,0),( ?? yxfyxf yx.使 處有切 函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) 平面 ,則切平面的方程 高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 上面定理提供了尋找極值點(diǎn)的途徑 ,對于可微函數(shù) ,如果有 極值點(diǎn)則極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn) 。但是上面的條件并不是充分的 . 即函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) .如例 3中的函數(shù) z=2xy,(0,0)是 其駐點(diǎn) ,可是函數(shù)在這點(diǎn)并不取得極值 .另外 ,定理只是說明可 微函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn) ,即對于可微函數(shù) ,找極值點(diǎn)只須 在其所有駐點(diǎn)中去找 .例 1說明函數(shù)不可微點(diǎn)也可能是函數(shù)的 極值點(diǎn) ,因此尋找可能的極值點(diǎn) ,只須在駐點(diǎn)和不可微點(diǎn)中去 尋找 . 同時成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn) . 高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 下面定理回答了駐點(diǎn)在什么條件下成為極值點(diǎn) . 定理 2(極值存在的充分條件 ) 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0 ,y0)的某 一個鄰域內(nèi)連續(xù) ,且有連續(xù)的一階 ,二階偏導(dǎo)數(shù) ,fx(x0 ,y0)=0, fy(x0 ,y0)=0,記 A=fxx (x0 ,y0)=0,B= fxy(x0 ,y0)=0,C= fyy(x0 ,y0)= : (1)當(dāng)△ =B2AC0 時有極值 ,且當(dāng) A0時有極大值 ,當(dāng) A0時 有極小值 。 (2)當(dāng)△ =B2AC0時 ,(x0,y0)不是極值點(diǎn) . (3)當(dāng)△ =B2AC=0時 ,函數(shù)在 (x0,y0)可能有極值 ,也可能沒有極值 , 需要討論 . 定理證明從略 . 高等數(shù)
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