【正文】 在光滑有向曲線 L: x=j(t), y=y(t)(a163。t163。b)上的連續(xù)函數(shù), L的方向與t的增加方向一致, 則 . 應(yīng)注意的問題: 下限a對應(yīng)于L的起點, 上限b 對應(yīng)于L的終點, a不一定小于b . 推廣：若空間曲線G由參數(shù)方程x=j(t), y =y (t), z=w(t)給出，那么曲線積分 , 其中a對應(yīng)于G的起點, b對應(yīng)于G的終點. 例題13. 計算, 其中L為拋物線y2=x上從點A(1, 1)到點B(1, 1)的一段弧.解法一：以x為參數(shù). L分為AO和OB兩部分: AO的方程為, x從1變到0。 OB 的方程為, x從0變到1. 因此 . 解法二：以y為積分變量. L的方程為x=y2, y從1變到1. 因此 . 例題14. 計算, 其中G是從點A(3, 2, 1)到點B(0, 0, 0)： 直線AB的參數(shù)方程為 x=3t, y=2t, x=t, t從1變到0. 所以所以 .5. 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：由定義，得 , 其中F={P, Q}, T={cost, sint}為有向曲線弧L上點(x, y)處單位切向量, dr=Tds={dx, dy}. 類似地有 . 其中F={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}為有向曲線弧G上點(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }. （三）格林公式：1. 單連通與復(fù)連通區(qū)域： 設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域.2. 對平面區(qū)域D的邊界曲線L, 我們規(guī)定L的正向如下：當(dāng)觀察者沿L的這個方向行走時，D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊. 3. 格林定理：設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 其中L是D的取正向的邊界曲線.4. 應(yīng)用格林公式必須注意：（1）格林公式的條件是：封閉、正向、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，三者缺一不可. 若曲線積分C不封閉則添加輔助線使之封閉；若C是順時針方向，則改為逆時針方向；應(yīng)用格林公式時先要檢查的連續(xù)性；（2），；（3）用公式計算二重積分時不能將曲線C的方程代入被積函數(shù).例題15. 利用格林公式計算，其中是圓周（按逆時針方向）.解：所圍區(qū)域：,由格林公式，可得= ==.例題16. (2012年會計學(xué)專業(yè)真題)利用格林公式計算曲線積分∫L(2x+1eysinx)dyeycosxdx，其中L是半圓x=（1y2）1/2由A（0,1）到B（0,1）的一段弧.解：令封閉曲線L2=L+L1，其中L1是起點為B，終點為A的y軸的一部分.由格林公式，得：∫L2(2x+1eysinx)dy+(eycosx)dx=∫∫D[?(2x+1eysinx)/ ?x?(eycosx)/?y]dxdy=∫∫D2dxdy=π（其中D為封閉曲線L2所圍）.而∫L2(2x+1eysinx)dy+(eycosx)dx=∫L(2x+1eysinx)dy+(eycosx)dx+∫L1(2x+1eysinx)dy+(eycosx)dx，其中∫L1(2x+1eysinx)dy+(eycosx)dx=2.所以有∫L(2x+1eysinx)dy+(eycosx)dx=π(2)=π+2.5. 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：定理：設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立.應(yīng)注意的問題：定理要求, 區(qū)域G是單連通區(qū)域, 且函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果這兩個條件之一不能滿足, 那么定理的結(jié)論不能保證成立. 破壞函數(shù)P、Q及、連續(xù)性的點稱為奇點.例題17. 計算, 其中L為拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧.解：因為在整個xOy面內(nèi)都成立, 所以在整個xOy面內(nèi), 積分與路徑無關(guān). .例題18. 證明曲線積分在整個xOy面內(nèi)與路徑無關(guān), 并計算積分值.解：P=x+y, Q=xy, 顯然P、Q在整個xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 而且 , 故在整個xOy面內(nèi), 積分與路徑無關(guān). 取L為點(1, 1)到(2, 3)的直線y=2x1, x從1變到2, 則 .(四)第一型曲面積分（對面積的曲面積分）1. 定義：設(shè)曲面S是光滑的, 函數(shù)f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積), 在DSi上任取一點(xi, hi, zi ), 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l174。0時, 極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在曲面S上對面積的曲面積分或第一類曲面積分, 記作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面.2. 第一型曲面積分（對面積的曲面積分）的存在性: 我們指出當(dāng)f(x, y, z)在光滑曲面S上連續(xù)時對面積的曲面積分是存在的.3. 第一型曲面積分（對面積的曲面積分）的性質(zhì): (1)設(shè)c c 2為常數(shù), 則 。 (2)若曲面S可分成兩片光滑曲面S1及S2, 則 。 (3)設(shè)在曲面S上f(x, y, z)163。g(x, y, z), 則 。 (4), 其中A為曲面S的面積.4. 第一型曲面積分（對面積的曲面積分）的計算：定理：設(shè)曲面S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy, 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)f(x, y, z)在S上連續(xù), 則 . 如果積分曲面S的方程為y=y(z, x), Dzx為S在zOx面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為 . 如果積分曲面S的方程為x=x(y, z), Dyz為S在yOz面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為 .說明：若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS的表達(dá)式 ,也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分. 例題19. 計算積分，其中是上半球面.解：=例題20. 計算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部.解：S的方程為, Dxy : x2+y2163。a2h2. 因為 , , , 所以 . 提示: . （五）第二型曲面積分（對坐標(biāo)的曲面積分）1. 有向曲面: 通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的. 例如由方程z=z(x, y) 表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè). 設(shè)n=(cosa, cosb, cosg)為曲面上的法向量, 在曲面的上側(cè)cosg0, 在曲面的下側(cè)cosg0. 閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分. 類似地, 如果曲面的方程為y=y(z, x),則曲面分為左側(cè)與右側(cè), 在曲面的右側(cè)cosb0, 在曲面的左側(cè)cosb0. 如果曲面的方程為x=x(y, z), 則曲面分為前側(cè)與后側(cè), 在曲面的前側(cè)cos a0, 在曲面的后側(cè)cosa0. 設(shè)S是有向曲面. 在S上取一小塊曲面DS, 把DS投影到xOy面上得一投影區(qū)域, 這投影區(qū)域的面積記為(Ds)(即cosg都是正的或都是負(fù)的). 我們規(guī)定DS在xOy面上的投影(DS)xy為 , 其中cosg186。0也就是(Ds)xy=0的情形. 類似地可以定義DS在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx. 2. 流向曲面一側(cè)的流量: 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場由v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z))給出, S是速度場中的一片有向曲面, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)都在S上連續(xù), 求在單位時間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的質(zhì)量, 即流量F. 如果流體流過平面上面積為A的一個閉區(qū)域, 且流體在這閉區(qū)域上各點處的流速為(常向量)v, 又設(shè)n為該平面的單位法向量, 那么在單位時間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一個底面積為A、斜高為|v|的斜柱體. 當(dāng)(v,^n)時, 這斜柱體的體積為 A|v|cosq=A vn. 當(dāng)(v,^n)時, 顯然流體通過閉區(qū)域A的流向n所指一側(cè)的流量F為零, 而Avn=0, 故F=Avn。 當(dāng)(v,^n)時, Avn0, 這時我們?nèi)园袮vn稱為流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量, 它表示流體通過閉區(qū)域A實際上流向n所指一側(cè), 且流向n所指一側(cè)的流量為Avn. 因此, 不論(v,^n)為何值, 流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量均為Avn . 把曲面S分成n小塊: DS1, DS2, , DSn(DSi同時也代表第i小塊曲面的面積). 在S是光滑的和v是連續(xù)的前提下, 只要DSi的直徑很小, 我們就可以用DSi上任一點(xi, hi, zi )處的流速 vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k代替DSi上其它各點處的流速, 以該點(xi, hi, zi )處曲面S的單位法向量 ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k代替DSi上其它各點處的單位法向量. 從而得到通過DSi流向指定側(cè)的流量的近似值為 viniDS i (i=1, 2, ,n) 于是, 通過S流向指定側(cè)的流量 , 但 cosaiDSi187。(D