線性代數(shù)知識點歸納-展示頁
2025-07-07 20:44本頁面
【正文】 ② 對稱性：③ 線性性： 3. ? 設(shè)A是一個n階方陣, 若存在數(shù)和n維非零列向量, 使得 ， 則稱是方陣A的一個特征值，為方陣A的對應(yīng)于特征值的一個特征向量. ? 的特征矩陣 （或）. ? 的特征多項式 （或）. ④ 是矩陣的特征多項式 ⑤ ，稱為矩陣的跡. ⑥ 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素. ⑦ 若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無關(guān)的特征向量. ⑧ 一定可分解為=、,從而的特征值 為：, . 為各行的公比，為各列的公比. ⑨ 若的全部特征值，是多項式,則:① 若滿足的任何一個特征值必滿足②的全部特征值為；. ⑩ 與有相同的特征值，但特征向量不一定相同.4. 特征值與特征向量的求法 (1) 寫出矩陣A的特征方程，求出特征值. (2) 根據(jù)得到 A 對應(yīng)于特征值的特征向量. 設(shè)的基礎(chǔ)解系為 其中. 則A 對應(yīng)于特征值的全部特征向量為 其中為任意不全為零的數(shù). 5. ? 與相似 （為可逆矩陣） ? 與正交相似 （為正交矩陣） ? 可以相似對角化 與對角陣相似.（稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)形）6. 相似矩陣的性質(zhì)： ①,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量. ② ③ 從而同時可逆或不可逆 ④ ⑤若與相似, 則的多項式與的多項式相似.7. 矩陣對角化的判定方法 ① n 階矩陣A可對角化 (即相似于對角陣) 的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量. 這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值. 設(shè)為對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有：. ② 可相似對角化，其中為的重數(shù)恰有個線性無關(guān)的特征向量. ：當(dāng)為的重的特征值時，可相似對角化的重數(shù)基礎(chǔ)解系的個數(shù). ③ 若階矩陣有個互異的特征值可相似對角化.8. 實對稱矩陣的性質(zhì)： ① 特征值全是實數(shù),特征向量是實向量； ② 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交； ：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； ③ 一定有個線性無關(guān)的特征向量. 若有重的特征值,該特征值的重數(shù)=； ④ 必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； ⑤ 與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； ⑥ 兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值.9. 正交矩陣 正交矩陣的性質(zhì)：① ；② ；③ 正交陣的行列式等于1或
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