【正文】 變換之間存在的微妙聯(lián)系。= H 0 ②：北京航天航空大學(xué)出版社，2003從定義式（212）可以很容易得到的k級(jí)傅里葉展開系數(shù)為，由積分命令int()計(jì)算可得，又，故有基波及諧波振幅為。 傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)在給定形式后，運(yùn)用Matlab中的積分命令“int()”②可以實(shí)現(xiàn)對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換中系數(shù)的計(jì)算，或運(yùn)用傅里葉變換命令“fourier()”②直接實(shí)現(xiàn)傅里葉變換，進(jìn)一步作圖可得到傅里葉變換的直觀圖像。可以看出，兩變換式前的系數(shù)存在一個(gè)自由度，因此變換式與對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)展開式之間也會(huì)相差一常數(shù)因子。亦可寫為復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)： （212）①， of Mathematical Physics（Volume I），Wiley，1989，4950 傅里葉變換 對(duì)定義在上的非周期函數(shù)，在傅里葉級(jí)數(shù)形式中令半周期可得傅里葉積分公式形式，且若滿足條件：（1）在任意有限區(qū)間內(nèi)滿足狄里克雷條件，（2）在上絕對(duì)可積，則的傅里葉積分收斂于。二、傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的可視化及應(yīng)用 傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的數(shù)學(xué)依據(jù) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)以三角函數(shù)系為展開函數(shù)，可以證明三角函數(shù)系是正交歸一①的。比如小波分析以及Z變換，在信號(hào)分析中應(yīng)用都很廣泛。時(shí)至今日，傅里葉分析已被廣泛的應(yīng)用于信號(hào)分析、信號(hào)處理、光譜分析、量子力學(xué)、天體物理學(xué)、微分方程求解、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域，成為數(shù)據(jù)分析的一種有效的基礎(chǔ)手段。傅里葉分析在很多方面都有應(yīng)用，但直到快速傅里葉變換（FFT）的誕生才把傅里葉分析推向了高潮。30一、引言傅里葉級(jí)數(shù)最初是法國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫18英文原文13參考文獻(xiàn)11六、總結(jié)及結(jié)論8 廣義傅里葉級(jí)數(shù)的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)8 廣義傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)依據(jù)6四、廣義傅里葉級(jí)數(shù)的可視化及應(yīng)用傅里葉變換的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)1 傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的數(shù)學(xué)依據(jù)1二、傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的可視化及應(yīng)用關(guān)鍵詞：傅里葉級(jí)數(shù) 傅里葉變換 快速傅里葉變換 可視化Abstract Fourier Transform is a kind of transformation from the realspace to frequencyspace. The reason why Fourier Transform is important is that many realistic problems are more easily to be solved in frequencyspace. Specially,the development of Fast Fourier Transform make it more convenient to use. This paper reviews Fourier Series,Fourier Transform, Fast Fourier Transform and Generalized Fourier Series. We discuss the relationship and the difference among them,and introduce their applications in realistic problems,then visualize them in MatLab. Finally，we make some ments on the meaning of Fourier Transform.Keywords：Fourier Series Fourier Transform FFT Visualization目 錄一、引言本文涉及傅里葉級(jí)數(shù)、連續(xù)傅里葉變換、快速傅里葉變換、廣義傅里葉級(jí)數(shù)，旨在介紹它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，并探討它們?cè)贛atLab中的可視化實(shí)現(xiàn)方法，以及在實(shí)際中的應(yīng)用。論文編碼： 首都師范大學(xué)本科學(xué)生畢業(yè)論文傅里葉變換的可視化及應(yīng)用研究 作 者： 吳曉龍 院 系： 物理系 專 業(yè)： 物理學(xué)（師范） 學(xué) 號(hào)： 1070600080 指導(dǎo)教師： 郭懷明 日 期： 2011年5月9日 中文提要 傅里葉變換是由實(shí)空間向頻譜空間的變換。傅里葉變換的重要性在于很多實(shí)際問題在頻譜空間更易處理，而快速傅里葉變換的發(fā)展則使之更便于應(yīng)用。本文最后還對(duì)傅里葉變換的意義做了簡(jiǎn)單探討。傅里葉變換的實(shí)際應(yīng)用3三、DFT、FFT的可視化及應(yīng)用4 DFT、FFT的數(shù)學(xué)依據(jù)4 FFT的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)5 FFT的實(shí)際應(yīng)用9 廣義傅里葉級(jí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用9五、傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的意義12附錄17致謝19中文譯文傅里葉在求解熱傳導(dǎo)方程時(shí)產(chǎn)生的，隨后傅里葉變換、離散傅里葉變換（DFT）應(yīng)運(yùn)而生，并不斷的發(fā)展為一整套傅里葉分析理論體系。1965年，Cooley和Tukey兩人在《計(jì)算機(jī)科學(xué)》上發(fā)表了《機(jī)器計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的一種算法》一文，之后 FFT開始大規(guī)模應(yīng)用。同時(shí)，結(jié)合各領(lǐng)域自身的特點(diǎn)，以傅里葉分析為基礎(chǔ)而發(fā)展起來的其他更有效的分析方法也得到了廣泛的實(shí)際應(yīng)用。但毋庸置疑，以傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換、DFT、FFT為基礎(chǔ)的傅里葉分析依然是一種不可替代的簡(jiǎn)單而有效的分析方法。以2l為周期的任意周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)形式為： （211） 若滿足狄里克雷充分條件，即：（1）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，（2）在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于。其展開形式為： （213）亦可寫為復(fù)數(shù)形式傅里葉積分： （214）其中第二式即為傅里葉變換式，第一式又稱傅里葉逆變換式。同時(shí)也可以看出，變換的展開系數(shù)本身數(shù)值的絕對(duì)大小并不具有切實(shí)的物理意義，其相對(duì)大小才真正具有意義。下面我們就來看一個(gè)簡(jiǎn)單而典型的例子，以方波為例看看一個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在MatLab中是怎樣可視化實(shí)現(xiàn)的：：以T為周期的方波的傅里葉級(jí)數(shù)的可視化。用MatLab中的stem()函數(shù)做出基波及各級(jí)諧波振幅的直觀圖像，這里令H=1，T=2，圖像如下（計(jì)算、作圖程序見附錄） 方波的傅里葉級(jí)數(shù)譜 方波脈沖的傅里葉變換譜從圖中可以清晰地看出基波及各級(jí)諧波的振幅對(duì)比，振幅隨級(jí)次的衰減、變化的趨勢(shì)一目了然。只是幅值大小相差倍。 傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)物理方程中波動(dòng)方程（如一維波動(dòng)方程：）、輸運(yùn)方程（如一維熱傳導(dǎo)方程：）的空間部分的本征函數(shù)解構(gòu)成正交完備的三角函數(shù)系，因此可用傅里葉級(jí)數(shù)法或傅里葉變換法進(jìn)行求解。同樣的，傅里葉變換法可以看作是傅里葉級(jí)數(shù)法由有限區(qū)域向無限區(qū)域的一個(gè)推廣，二者本質(zhì)上沒有區(qū)別，只是適用范圍不同罷了。眾所周知，這些數(shù)學(xué)物理方程是從許多實(shí)際的問題中提煉出來的，因此解決這些數(shù)理方程本身就是對(duì)實(shí)際問題的處理，只要將方程中相應(yīng)的參數(shù)對(duì)應(yīng)于實(shí)際問題中的參量，就可以解決實(shí)際問題了。由于我們已經(jīng)知道對(duì)應(yīng)的齊次泛定方程在邊界條件下的本征函數(shù)解系為。由函數(shù)系的正交性，可以從級(jí)數(shù)形式的方程中分離出各級(jí)展開系數(shù)所滿足的微分方程， 可以看出分離出來的一系列微分方程較原來的微分方程要簡(jiǎn)單得多，只是一些二階常微分 方程。同樣，則問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐痪S無限長(zhǎng)弦的振動(dòng)方程，相應(yīng)的可以用傅里葉變換法③進(jìn)行求解，思路與傅里葉級(jí)數(shù)法完全相同。這些函數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)函數(shù)的展開都可一般化的寫為 (411)其中即為廣義傅里葉級(jí)數(shù)的k級(jí)展開函數(shù)，表示與的內(nèi)積。 廣義傅里葉級(jí)數(shù)的Matlab可視化實(shí)現(xiàn) MatLab中內(nèi)置有勒讓德函數(shù)、貝賽爾函數(shù)等，分別為命令“l(fā)egendre()”、“besselj()”②，可結(jié)合運(yùn)用曲面作圖命令“mesh()”、“surf()”②或復(fù)變函數(shù)作圖命令“cplxmap()”②等做出圖像。我們就用勒讓德函數(shù)的母函數(shù)③展開為勒讓德級(jí)數(shù)的例子來看看廣義傅里葉級(jí)數(shù)在MatLab中的可視化：：勒讓德函數(shù)的母函數(shù)展開為勒讓德級(jí)數(shù)形式。 廣義傅里葉級(jí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 像勒讓德函數(shù)、連帶勒讓德函數(shù)、貝賽爾函數(shù)這樣的廣義傅里葉函數(shù)都是在數(shù)學(xué)物理方程的求解過程中產(chǎn)生的，因此廣義傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用與傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用有相仿之處。廣義傅里葉級(jí)數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用是用于研究量子力學(xué)中在中心力場(chǎng)作用下的散射問題，與連續(xù)傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用一樣，廣義傅里葉級(jí)數(shù)之所以能應(yīng)用是由于它是所要求解的方程的本征函數(shù)組。 由于中心力場(chǎng)的作用，顯然將入射波展開為具有球?qū)ΨQ性的球面波將更利于問題的求解。我們?cè)谝阎芰亢徒莿?dòng)量的共同本征函數(shù)的前提下，將入射波，如形式的平面波，展開為以能量和角動(dòng)量的共同本征函數(shù)為基的廣義傅里葉級(jí)數(shù)③將前幾級(jí)次的球面波用命令surf()做出圖像，（作圖程序見附錄） 球面波分量圖 球面波分量圖 球面波分量圖 球面波分量圖⑤（卷I），：科學(xué)出版社，③，：高等教育出版社，從圖中我們可以清晰的看到各級(jí)球面波的對(duì)稱性，以及各分量的大小，幅值隨級(jí)次增大的變化趨勢(shì)等。將級(jí)數(shù)形式的波函數(shù)帶回薛定諤方程由球諧函數(shù)的正交性可以得出一系列分離的方程 其中。至此，我們已經(jīng)掌握了入射波、方程及邊界條件的分波形式，得到的分波方程較原方程要簡(jiǎn)單得多。一般情況下只用考慮前兩三個(gè)分波就可以得到很好的近似結(jié)果了，這也是分波法的優(yōu)越之處。事實(shí)上，正是由于傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換、FFT所具有的這個(gè)物理意義才使得其在頻譜分析中得到廣泛應(yīng)用。它為我們提供了一種解決問題的思路，如果我們可以用不同的變換方法將復(fù)雜的問題分解化，將糾纏的問題分離化，我們就可以用這種變換來處理問題。通過對(duì)理論基礎(chǔ)的對(duì)比我們可以看到它們之間的相互聯(lián)系與區(qū)別，知道了傅里葉級(jí)數(shù)、廣義傅里葉級(jí)數(shù)法的建立基礎(chǔ)，并認(rèn)識(shí)到發(fā)展出傅里葉變換、DFT、FFT的理論根基。最后通過在實(shí)際各方面的應(yīng)用，我們看到了它們?cè)趯?shí)際中的應(yīng)用方式、方法，并對(duì)其能夠解決的各類問題有了一個(gè)大致的了解。附錄程序：傅里葉系數(shù)計(jì)算：syms x H k tao Tint(H*exp(1i*2*k*pi/T*x)/T,x,tao/2,tao/2)繪制圖像：H=1。tao=。 endy=[H*tao/T,y]。stem(x,y,39。,39。,39。)：N=64。tao=。y=zeros(1,N+1)。 if(T/2+k*T/N=tao/2)amp。(T