相似三角形知識(shí)點(diǎn)梳理-展示頁(yè)
2025-07-04 00:16本頁(yè)面
【正文】 將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：；其中．知識(shí)點(diǎn)4 比例線段的有關(guān)定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 由DE∥BC可得：注：①重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例. ②三角形中平行線分線段成比例定理的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線). 此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.③平行線的應(yīng)用：在證明有關(guān)比例線段時(shí)，輔助線往往做平行線,但應(yīng)遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 已知AD∥BE∥CF, 可得等. 注：平行線分線段成比例定理的推論：平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。AD是斜邊BC上的高，則AD2=BDBC ，AC2=CD知識(shí)點(diǎn)8 相似三角形常見(jiàn)的圖形 下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1） 如圖：稱(chēng)為“平行線型”的相似三角形（有“A型”與“X型”圖）(2) 如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱(chēng)為“斜交型”的相似三角形。幾種基本圖形的具體應(yīng)用：（1）若DE∥BC（A型和X型）則△ADE∽△ABC（2）射影定理 若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形） 則Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD且AC2=ADBD，BC2=BDAB，∠ACD=∠B，∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）當(dāng)或ADAE時(shí)，△ADE∽△ACB． 知識(shí)點(diǎn)9：全等與相似的比較：三角形全等三角形相似兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等(ASA)兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等(SAS)三邊對(duì)應(yīng)相等(SSS)直角三角形中一直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)相等(HL)相似判定的預(yù)備定理兩角對(duì)應(yīng)相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等三邊對(duì)應(yīng)成比例直角三角形中斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)成比例知識(shí)點(diǎn)10 相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．注：相似三角形性質(zhì)可用來(lái)證明線段成比例、角相等，也可用來(lái)計(jì)算周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)等．知識(shí)點(diǎn)11 相似三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與輔助線作法證明四條線段成比例的常用方法： (1)線段成比例的定義(2)三角形相似的預(yù)備定理(3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換(5)利用面積關(guān)系證明題常用方法歸納：（1）總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似” (2)找相似：通過(guò)“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個(gè)三角形相似，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論. (3)找中間比：若沒(méi)有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這 幾個(gè)字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。①②③ (4) 添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成 ，直到被證結(jié)論證出為止. 注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。（5）比例問(wèn)題：常用處理方法是將“一份”看著k。（6）．對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“分離”出來(lái)的辦法處理。 ②外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外，稱(chēng)為“外位似”（即同向位似圖形） ③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱(chēng)為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形） （5） 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為k（k0）,原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky), 反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky),經(jīng)典例題透析類(lèi)型一、相似三角形的概念 1．判斷對(duì)錯(cuò)： (1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？ (2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？ (3)兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？ (4)兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎？為什么？ (5)兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？ 思路點(diǎn)撥：要說(shuō)明兩個(gè)三角形相似，要同時(shí)滿足對(duì)應(yīng)角相等，則只要否定其中的一個(gè)條件. 解： (3)一定相似. 在直角三角形ABC與直角三角形A′B′C′中 設(shè)AB=a， A′B′=b，則 BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b ∴ ∴ABC∽A′B′C′ (4)一定相似. 因?yàn)榈冗吶切胃鬟叾枷嗟?，各角?
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