相似三角形知識點(diǎn)梳理-wenkub.com
2025-06-22 00:16 本頁面
【正文】 只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來了。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事?！唷螦=∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90176?！ ?∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE (2)由(1)得△ABC∽△ADE ∴ ∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC= ∴∴DE=16m 答：古塔的高度為16m.【變式2】已知：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，=，窗口高AB=，求窗口底邊離地面的高BC？ 思路點(diǎn)撥：光線AD//BE，作EF⊥，利用邊的比例關(guān)系求出BC. 解：作EF⊥∥BE，所以又因?yàn)椋 ∷?，所? 因?yàn)锳B∥EF， AD∥BE，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以EF=AB=. 所以m.類型五、相似三角形的周長與面積 8．已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點(diǎn)，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點(diǎn)，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積． 思路點(diǎn)撥：利用△ADE∽△BCE，以及其他有關(guān)的已知條件，可以求出△BCE的面積．△ABC的邊AB上的高也是△BCE的高，根據(jù)AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面積．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面積． 解：∵ DA∥BC， ∴ △ADE∽△BCE． ∴ S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2． ∵ AE︰BE=1︰2， ∴ S△ADE︰S△BCE=1︰4． ∵ S△ADE=1， ∴ S△BCE=4． ∵ S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2， ∴ S△ABC=6． ∵ EF∥BC， ∴ △AEF∽△ABC． ∵ AE︰AB=1︰3， ∴ S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9． ∴ S△AEF==． 總結(jié)升華：注意，同底(或等底)三角形的面積比等于這底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對應(yīng)底邊的比．當(dāng)兩個三角形相似時，它們的面積比等于對應(yīng)線段比的平方，即相似比的平方． 舉一反三 【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比. 解：設(shè)原地塊為△ABC，地塊在甲圖上為△A1B1C1，在乙圖上為△A2B2C2. ∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且， ∴， ∴. 【變式2】如圖，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合)，Q點(diǎn)在BC上． (1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長； (2)當(dāng)△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長； 解：(1)∵S△PQC=S四邊形PABQ ∴S△PQC：S△ABC=1：2 ∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC ∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2 ∴CP2=42， ∴CP=. (2)∵S△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等， ∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周長)=6 ∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC ∴ ，即： 解得，CP=類型六、綜合探究 9．如圖，AB∥CD，∠A=90176。 ∴△ADQ∽△QCP． 【變式2】如圖，弦和弦相交于內(nèi)一點(diǎn)，求證：. 思路點(diǎn)撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉(zhuǎn)化為比例式，. 證明：連接 ，.在 ∴∽ ∴. 【變式3】已知：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)． 求證：△DFE∽△ABC．思路點(diǎn)撥：EF為△ABC的中位線，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE=AB，DF=AC．因此考慮用三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似． 證明：在Rt△ABD中，DE為斜邊AB上的中線， ∴ DE=AB，即 =．同理 =．∵ EF為△ABC的中位線，∴ EF=BC，即 =． ∴ ==．∴ △DFE∽△ABC．總結(jié)升華：本題證明方法較多，可先證∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再證夾這個角的兩邊成比例，即=，也可證明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以證出△DEF∽△ABC．類型三、相似三角形的性質(zhì) 5．△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長度，你能求出△DEF的另外兩邊的長度嗎？試說明理由. 思路點(diǎn)撥：因沒有說明長4cm的線段是△DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進(jìn)行討論. 解：設(shè)另兩邊長是xcm，ycm，且xy. (1)當(dāng)△DEF中長4cm線段與△ABC中長5cm線段是對應(yīng)邊時，有， 從而x=cm，y=cm. (2)當(dāng)△DEF中長4cm線段與△ABC中長6cm線段
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