【正文】 這樣，在允許無風險借貸的情況下，馬科維茨有效集由CTD弧線變成過A、T 點的直線在A點右邊的部分。在圖89中，弧線CD仍代表馬科維茨有效集，T點仍表示CD弧線與過A點直線的相切點。我們仍假設風險資產組合B是由風險證券和C和D組成的，則由風險資產組合B和無風險借款A構成的投資組合的預期收益率和標準差一定落在AB線段向右邊的延長線上，如圖88所示。這個延長線再次大大擴展了可行集的范圍。這樣，式（）到（）也完全適用于無風險借款的情形。為此，我們只要對上一節(jié)的推導過程進行適當的擴展即可。為了分析方便起見，我們假定投資者可按相同的利率進行無風險借貸。在該借款本息償還上不存在不確定性。然而，在現實生活中，投資者可以借入資金并用于購買風險資產。顯然，這種資產配置的效果是不錯的。也就是說，%的資金投入最優(yōu)風險組合，%投入無風險資產。投資者的目標是通過選擇最優(yōu)的資產配置比例y來使他的投資效用最大化。市場無風險利率（rf）為5%。繼續(xù)前面的例子。對于該投資者而言，他將把部分資金投資于風險資產，而把另一部分資金投資于無風險資產。 I3 I2 I1 D O T C A （a） I3 I2 I1 D T O C （b） 圖86 無風險貸款下的投資組合選擇對于較厭惡風險的投資者而言，由于代表其原來最大滿足程度的無差異曲線I1與AT線段相交，因此不再符合效用最大化的條件。如圖86（a）所示。對于厭惡風險程度較輕，從而其選擇的投資組合位于DT弧線上的投資者而言，其投資組合的選擇將不受影響。通過將目標函數對XA求偏導并另偏導等于0，我們就可以求出最優(yōu)風險組合的權重解如下： （）XB=1XA ()將數據代進去，就可得到最優(yōu)風險組合的權重為： =XB==該最優(yōu)組合的預期收益率和標準差分別為：該最優(yōu)風險組合的單位風險報酬=（11%5%）/%=有效邊界的表達式為： 本書所附的光盤中的Excel模板（標題為第8章 兩證券模型）則用另一種辦法根據兩個風險資產的預期收益率、標準差和相關系數以及無風險利率的數據找出有效邊界。其中： 1=XAA+XBB約束條件是：XA+XB=1。從圖85可以看出，最優(yōu)風險組合實際上是使無風險資產（A點）與風險資產組合的連線斜率（即）最大的風險資產組合，其中分別代表風險資產組合的預期收益率和標準差，rf表示無風險利率。市場無風險利率為5%。假設市場上有A、B兩種證券，其預期收益率分別為8%和13%，標準差分別為12%和20%。由于AT 線段上的組合是可行的，因此引入無風險貸款后，新的有效集由AT線段和TD弧線構成。因為對于T點左邊的有效集而言，在預期收益率相等的情況下，AT線段上風險均小于馬科維茨有效集上組合的風險，而在風險相同的情況下，AT線段上的預期收益率均大于馬科維茨有效集上組合的預期收益率。換句話說，AT線段的斜率最大，因此T點代表的組合被稱為最優(yōu)風險組合（Optimal Risky Portfolio）。 T D C A 圖85 允許無風險貸款時的有效集 T點代表馬科維茨有效集中眾多的有效組合中的一個，但它卻是一個很特殊的組合。我們可以在馬科維茨有效集中找到一點T，使AT直線與弧線CD相切于T點。 D B A C 圖84 無風險資產和風險資產組合的組合（三）無風險貸款對有效集的影響引入無風險貸款后，有效集將發(fā)生重大變化。如果我們仍用和代表風險資產組合的預期收益率和標準差，用X1代表該組合在整個投資組合中所占的比重，則式（）到（）的結論同樣適用于由無風險資產和風險資產組合構成的投資組合的情形。 B A 圖83 無風險資產和風險資產的組合2．投資于一種無風險資產和一個證券組合的情形如果投資者投資于由一種無風險資產和一個風險資產組合組成的投資組合，情況又如何呢？假設風險資產組合B是由風險證券C和D組成的。在圖83中，A點表示無風險資產，B點表示風險資產，由這兩種資產構成的投資組合的預期收益率和風險一定落在A、B這個線段上，因此AB連線可以稱為資產配置線。這樣，根據式（），我們可以算出該組合的預期收益率為： （）根據式（），我們可以算出該組合的標準差（）為： （）由上式可得： ， （）將（）代入（）得： （）由于、rf和已知，式（）是線性函數，其中為單位風險報酬（RewardtoVariability）,又稱夏普比率（Sharpe’s Ratio）。根據X1和X2的定義，我們有X1+X2=1，且XX20。（二）允許無風險貸款下的投資組合1．投資于一種無風險資產和一種風險資產的情形為了考察無風險貸款對有效集的影響，我們首先要分析由一種無風險資產和一種風險資產組成的投資組合的預期收益率和風險。綜合以上兩點可以看出，嚴格地說，只有到期日與投資期相等的國債才是無風險資產。事實上，任何一種到期日超過投資期限的證券都不是無風險資產。例如，對于一個投資期限為1年的投資者來說，期限還有10年的國債就存在著風險。其次，無風險資產應沒有市場風險。在現實生活中，什么樣的資產稱為無風險資產呢？首先，無風險資產應沒有任何違約可能。由于無風險資產的期末價值沒有任何不確定性，因此，其標準差應為零。一、無風險貸款對有效集的影響（一）無風險貸款或無風險資產的定義無風險貸款相當于投資于無風險資產，其收益率是確定的。而在現實生活中，這兩種情況都是存在的。第二節(jié) 無風險借貸對有效集的影響在前一節(jié)中，我們假定所有證券及證券組合都是有風險的，而沒有考慮到無風險資產的情況。從上一章的分析可知，厭惡風險程度越高的投資者，其無差異曲線的斜率越陡，因此其最優(yōu)投資組合越接近N點。對于投資者而言，有效集是客觀存在的，它是由證券市場決定的。而I2代表了可以實現的最高投資效用，因此O點所代表的組合就是最優(yōu)投資組合。 I3 I2 I1 B O H N A 圖82 最優(yōu)投資組合從圖82可以看出，雖然投資者更偏好I3上的組合，然而可行集中找不到這樣的組合，因而是不可實現的。三、最優(yōu)投資組合的選擇確定了有效集的形狀之后，投資者就可根據自己的無差異曲線群選擇能使自己投資效用最大化的最優(yōu)投資組合了。這樣，投資者的評估范圍就大大縮小了。由于有效集必須同時滿足上述兩個條件，因此N、B兩點之間上方邊界上的可行集就是有效集。我們再考慮第二個條件，在圖81中，各種組合的預期收益率都介于組合A和組合B之間。同樣，沒有哪個組合的風險大于H。在圖81中，沒有哪一個組合的風險小于組合N，這是因為如果過N點畫一條垂直線，則可行集都在這條線的右邊。（二）有效集的位置可見，有效集是可行集的一個子集，它包含于可行集中。能同時滿足這兩個條件的投資組合的集合就是有效集（Efficient Set，又稱有效邊界Efficient Frontier）。 B H 可行集 N A 圖81 可行集與有效集二、有效集（一）有效集的定義對于一個理性投資者而言，他們都是厭惡風險而偏好收益的。在現實生活中，由于各種證券的特性千差萬別。也就是說，所有可能的組合將位于可行集的邊界上或內部。一、可行集為了說明有效集定理，我們有必要引入可行集（Feasible Set）的概念。幸運的是，根據馬科維茨的有效集定理，投資者無須對所有組合進行一一評估。第一節(jié)　有效集和最優(yōu)投資組合根據上一章介紹過的馬科維茨證券組合理論，投資者必須根據自己的風險收益偏好和各種證券和證券組合的風險、收益特性來選擇最優(yōu)的投資組合。風險資產的定價風險資產的定價是投資學的核心內容之一。本章將在上一章的基礎上詳細討論風險資產的定價方法，特別是資本資產定價模型。然而，現實生活中證券種類繁多，這些證券更可組成無數種證券組合，如果投資者必須對所有這些組合進行評估的話，那將是難以想象的。本節(jié)將按馬科維茨的方法