【正文】 Hiz=0zHi(z)dz (i=0,1,2,3,4)Hi1z=0z Hizdz Hi11z=0z HizzdzT0z=0zH0zF(z)dz T1z=0zH1zF(z)dzG0z=0zF(z)dz G1z=0zF(z)zdz G0z=0zG0(z)dzG01z=0zG0(z)F(z)dz G011z=0zG0(z)F(z)zdz G11z=0zG1(z)F(z)dzT0z=0zT0(z)dz T1z=0zT1(z)dzN0z=0zT0(z)F(z)dz N1z=0zT1(z)F(z)dzN01z=0zT0(z)zF(z)dz N11z=0zT1(z)zF(z)dzY0z=0zH0zF(z)dz Y1z=0zH1zF(z)dz將(18)(19)代到(16)和(17)得到下列關(guān)系d312d2f(z)dz2=λ33df3(z)dz+C3k0 s112d2f(z)dz2=d31df3(z)dz+C4k0z+C5k0 (20) d31d2f1(z)dz2=λ33df4(z)dz+C0k0 s11d2f1(z)dz2=d31df4(z)dz+C1k0z+C2k0 (21)d15df(z)dz2λ11f3z+ddzd33f(z)+ddzd31d2f2(z)dz2=ddzλ33df5(z)dzd2dz2s11d2f2zdz2+s13fz+ddzd44dfzdz+s13d2fzdz2=d2dz2d31df5(z)dz+2d33df3(z)dzddz2d15f3(z) (22)其中k0=1s110λ330(d310)2求解(20)~(22)式，可以得到f(z)和f1z~f5(z)，由此求的出應(yīng)力函數(shù)以及電勢(shì)函數(shù)，由此可以求得應(yīng)力、應(yīng)變、電場(chǎng)和電位移為σx=x2C4λ330zF(z)+(C5λ330C3d310）1F(z)+xC1λ330zF(z)+(C5λ330C0d310）1F(z)+k0a12C4λ330H1z+2C5λ330C3d310H0z+C7z+C8+k0F(z)a22C4λ330T1z+2C5λ330C3d310T0z+C7G0(z)2a3C4d310T1z+C5d310C3s110T0z+C6G0(z) s130λ33013C4λ330z3+(C5λ330C3d310)z2 +d330λ33013C4d310z3+C5d310C3s110z2+λ330C13z+C14C12d310 (23)σz=2C4λ330H1z+2C5λ330C3d310H0z+C7z+C8 (24) (25)εx= x2k0C4z+C5+xk0C1z+C2s4402C4λ330T1z+2C5λ330C3d310T0z+C7G0z2d150C4d310T1z+C5d310C3s110T0z+C6G0(z)s13013C4λ330z3+(C5λ330C3d310)z2+d33013C4d310z3+(C5d310C3s110)z2+C13z+C14 (26)εz=x2a1C4z+C5C3a4+xa1C1z+C2C0a4+s330s130a1k0+d330a4k0Fz2C4λ330H1z+2C5λ330C3d310H0z+C7z+C8+k0s130a2+d330a52C4λ330T1z+2C5λ330C3d310T0z+C7G0z +2s130+a3+d330a6C4d310T1z+C5d310C3s110T0z+C6G0z +(s130)2λ330+s130d330d31013C4λ330z3+(C5λ330C3d310)z2 +s130d330λ330(d330)2d31013C4d310z3+(C5d310C3s110)z2+a1C13z+C14C12a4 (27)γzx=xFzs4402C4λ330H1z+2C5λ330C3d310H0z+C7+2d150C4d310H1z+C5d310C3s110H0z+C6 F(z)s4402C1λ330H1z+2C2λ330C0d310H0z+C10+d150C1d310H1z+C2d310C0s110H0z+C9 (28)Ex=2xC4d310H1z+C5d310C3s110H0z+C6C1d310H1z+C2d310C0s110H0z+C9 (29)Ez=x2C4d310zF(z)+(C5d310C3s110)1F(z)xC1d310zF(z)+(C2d310C0s110)1F(z)k0a42a4λ330H1z+2(C5λ330C3d310H0z+C7z+C8k0F(z)a52C4λ330T1z+2C5λ330C3d310T0z+C7G0(z) 2a6C4d310T1z+C5d310C3s110T0z+C6G0(z) s130d31013C4λ330z3+(C5λ330C3d310)z2 +d330d31013C4d310z3+(C5d310C3s110)z2+d310C13z+C14C12s110 (30)Dx=xd150Fz2C4λ330H1z+2C5λ330C3d310H0z+C72xλ110F(z)C4d310H1z+C5d310C3s110H0z+C6d150F(z)C1λ330H1z+(C2λ330C0d310)H0z+C10λ110F(z)C1d310H1z+C2d310C0s110H0z+C9， (31)Dz=C3x2k0+C0xk0+d1502C4λ330T1z+2C5λ330C3d310T0z+C7G0(z)+2λ110C4d310T1z+C5d310C3s110T0z+C6G0(z)+C12 (32)其中 a1=s130λ330d310d330, a2=s440λ330+d150d310, a3=d150λ330+λ110d310, a4=s130d310d330s110, a5=s440d310+d150s110, a6=d150d310+λ110s110.將(26)式對(duì)x積分，得到u=x33k0C4z+C5+x22k0C1z+C2+g1(z)+xs4402C4λ330T1z+2C5λ330C3d310T0z+C7G0(z) 2d150C4d310T1z+C5d310C3s110T0(z)+C6G0(z)+C13z+C14 s13013C4λ330z3+(C5λ330C3d310)z2+d33013C4d310z3+C5d310C3s110z2(33)將(27)式對(duì)z積分,得到w= x2a1C4z22+C5zC3a4z+xa1C1z22+C2zC0a4z+g2(x)+(s330s130a1k0+d330a4k0)2C4λ330Y1z+2C5λ330C3d310Y0z+C7G1z+C8G0(z)+k0(s130a2+d330a5)2C4λ330T1z+2C5λ330C3d310T0z+C7G0(z)+2(s130a3+d330a6)C4d310T1z+C5d310C3s110T0z+C6G0(z) +(s130)2λ330+s130d330d310112C4λ330z4+13(C5λ330C3d310)z3+a1(C13z22+C14z)+s130d330λ330(d330)2d310112C4d310z4+13(C5d310C3s110)z3C12a4z (34)將(28),(33)和(34)式代到(6)式的第三式可求得:g2x=axx22C13x36k0C1x412k0C4+d (35)g1z=aza1C1z36+C2z22C0a4z22s440C1λ330T1z+C2λ330C0d310T0z+C10G0(z)+d150C1d310T1z+C2d310C0s110T0z+C9G0(z)+e (36)(22)~(36)式中各系數(shù)可由邊界條件(9)~(14)確定，見(jiàn)附錄考慮一功能梯度壓電懸臂梁(l=1m,h=)僅受均布?jí)毫ψ饔?P=0,M=0,q=1N/m2)的情況，假設(shè)梯度函數(shù)為Fz=exp?(αz/h)，其中α是梯度指數(shù)，在這里我們應(yīng)分別取α為0,1,2。由于問(wèn)題的相似性，本文只討論平面應(yīng)變問(wèn)題。梁長(zhǎng)l，寬b，厚度h，上表面受到均布載荷q，自由端作用剪切載荷P和力矩M。 李堯臣等基于若干基本假設(shè)，提出了指數(shù)型功能梯度壓電材料圓板在軸對(duì)稱載荷作用下的簡(jiǎn)化理論與解析解，獲得了板的周邊固定或簡(jiǎn)支并接地情況下中性層法線轉(zhuǎn)角的解和用FourierBessel級(jí)數(shù)表示的電勢(shì)解，這個(gè)解有足夠的精度，在形式上比精確解簡(jiǎn)潔得多，便于數(shù)值計(jì)算和應(yīng)用[6]。研究表明，對(duì)于給定的表面材料性質(zhì)，當(dāng)薄膜厚度減小到微米尺度時(shí)，其抗彎剛度和固有頻率表現(xiàn)出明顯的尺度效應(yīng)，并隨厚度的進(jìn)一步減小，表面效應(yīng)的影響越來(lái)越明顯。Bian等將Soldatos層合板理論推廣用于功能梯度板的分析，構(gòu)造了狀態(tài)空間列式來(lái)確定翹曲函數(shù)的厚度方向分布，然后針對(duì)Soldatos層合板理論構(gòu)造了狀態(tài)空間列式對(duì)單跨以及多跨柱形板的彎曲進(jìn)行求解。 為了對(duì)更復(fù)雜條件下功能梯度梁、板、殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，必須發(fā)展適合于功能梯度材料特點(diǎn)的梁、板、殼簡(jiǎn)化理論。基于狀態(tài)空間的微分求積法還被推廣應(yīng)用于求解雙向功能梯度材料梁和雙向功能梯度材料圓板的分析。 Nie等對(duì)狀態(tài)空間法和微分求積法相結(jié)合的半解析半數(shù)值方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了將位移和位移的一階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量的求解方法，與應(yīng)力和位移混合作為狀態(tài)變量的狀態(tài)空問(wèn)法相比較，更易處理某些邊界條件和圓板中心的正則性條件。Li等利用該方法獲得了功能梯度層合梁以及壓電層合板在簡(jiǎn)支、固支、自由等邊界條件下的自由振動(dòng)與靜力彎曲問(wèn)題的解答。Chen等針對(duì)復(fù)合材料梁板提出了一種有效的半解析半數(shù)值方法，該方法將狀態(tài)空間法和微分求積法結(jié)合在一起，在面內(nèi)采用微分求積法離散可以處理任意側(cè)面邊界條件，而在厚度方向采用狀態(tài)空間法進(jìn)行精確求解。 傳統(tǒng)的狀態(tài)空間法只能適用于具有特殊邊界條件(如簡(jiǎn)支、滑支)的結(jié)構(gòu)的求解。由于采用了兩個(gè)局部坐標(biāo)系，該方法摒除了具有正實(shí)部指數(shù)的指數(shù)函數(shù)，從而在計(jì)算中避免了傳統(tǒng)狀態(tài)空問(wèn)法中普遍存在的大數(shù)相減，得到了絕對(duì)穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，表明回傳射線矩陣法對(duì)于結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)計(jì)算具有不可替代的優(yōu)越性。潘永東等利用Peano級(jí)數(shù)展開(kāi)法研究功能梯度材料中波的傳播特性，求解了圓桿和圓管表面上功能梯度