兩個(gè)單調(diào)函數(shù)乘積的單調(diào)性畢業(yè)論文-展示頁(yè)
2025-07-02 03:39本頁(yè)面
【正文】 奇函數(shù)相加得非奇、非偶函數(shù)； 兩個(gè)（或多個(gè)）偶函數(shù)相乘得偶函數(shù)，兩個(gè)（或多個(gè)）奇函數(shù)相乘得偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘得奇函數(shù)； 偶函數(shù)求導(dǎo)得奇函數(shù)，奇函數(shù)求導(dǎo)得偶函數(shù).證：若函數(shù)為偶函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，即，得的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)； 若函數(shù)為奇函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，即，得的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù) （圖3. 1奇函數(shù)） （圖3. 2偶函數(shù)）例：已知，且為定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)增加，判斷函數(shù)的單調(diào)性. 解：因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)增加，所以在上單調(diào)減少.又因?yàn)橛?，且，所以，即，解? 由函數(shù)的對(duì)稱軸為，且開口向下，所以函數(shù)單調(diào)增加區(qū)間是，單調(diào)減少區(qū)間是. 3. 5 求導(dǎo)法 設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)某一點(diǎn)的變化量為時(shí)，則相應(yīng)的函數(shù)值的改變量為，若極限 （）存在，我們則稱函數(shù)在處可導(dǎo)（或者說存在導(dǎo)數(shù)），（）式的極限稱為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記為，即若（）中極限不存在（即（）式不能得到一個(gè)具體的數(shù)值，而是正負(fù)無窮大時(shí)），我們則稱函數(shù)在不可導(dǎo).將一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)擴(kuò)大到整個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)時(shí)，我們有：若函數(shù)可導(dǎo)，則記為的導(dǎo)函數(shù). 在本文前部分，我們已經(jīng)熟悉了用定義法，復(fù)合函數(shù)法，反函數(shù)法，奇、偶函數(shù)法來判斷函數(shù)的單調(diào)性，但這幾種方法都有各自的局限性，如定義法的生搬硬套，不靈活；復(fù)合函數(shù)法，反函數(shù)法，奇、偶函數(shù)法的變化多樣，需要仔細(xì)觀察，不斷的揣摩. 而只要函數(shù)是連續(xù)的，在給定區(qū)間內(nèi)，我們就可以通過簡(jiǎn)單的求導(dǎo)過程來求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性進(jìn)而輕而易舉的判斷出原函數(shù)的單調(diào)性和相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則： 若（至多有限個(gè)點(diǎn)使），則在上單調(diào)增加； 若（至多有限個(gè)點(diǎn)使），則在上單調(diào)減少. 步驟：（1） 確定函數(shù)的定義域；（2） 求導(dǎo)函數(shù)；（3） 判斷與0的大小，.例：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解：對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得，令，解得或者，得的單調(diào)增區(qū)間為和，令，得，所以的單調(diào)減區(qū)間為4 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 在了解了函數(shù)單調(diào)性的判定方法和相關(guān)性質(zhì)之后，下一步我們需要解決的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題，本節(jié)將函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題分為以下三個(gè)方面. 4. 1 求函數(shù)的極值、最值以及值域 極值：若函數(shù)在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)對(duì)有，則稱函數(shù)在點(diǎn)處為極大值，是極大值點(diǎn). 若則稱函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，是極小值點(diǎn). 極大值與極小值都可稱作極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)都可稱作極值點(diǎn)【5】. 最值：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若，滿足①，有；②，使得這兩個(gè)條件. 則稱是的最小值；設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若，滿足①，有；②，使得這兩個(gè)條件. 則稱是的最大值；對(duì)于函數(shù)的極值、最值我們需要注意以下幾個(gè)性質(zhì)： 一個(gè)函數(shù)可能存在多個(gè)極值； 函數(shù)的極值之間不存在任何形式的絕對(duì)大小關(guān)系；，則函數(shù)在閉區(qū)間上必能取到最大值與最小值.（圖4. 1 函數(shù)極值與最值）利用單調(diào)性求函數(shù)值域的一般步驟如下：（1） 確定函數(shù)的定義域，并令，則可求得函數(shù)的駐點(diǎn)；（2） 判斷（1）中所求駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，若是，則求出其相應(yīng)函數(shù)值；（3） 找出函數(shù)中導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)和區(qū)間的端點(diǎn)，并求出這些點(diǎn)函數(shù)值（若定義區(qū)間為開區(qū)間，則求端點(diǎn)處的極限）；（4） 比較（2）、（3）中所有函數(shù)值的大小，得出函數(shù)的最值，即可求得函數(shù)的值域；例：求函數(shù)在區(qū)間的極大值、極小值以及值域. 解： ，令，得，所以導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)將定義域分為三個(gè)區(qū)間，分別是，. 駐點(diǎn)函數(shù)值為， ，端點(diǎn)函數(shù)值為，. 列表如下：23端點(diǎn)00端點(diǎn)極大值2極小值1（）所以函數(shù)的極大值為，極小值為，值域?yàn)? 4. 2 證明不等式定理【1】 ：設(shè)函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo). 函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加（單調(diào)減少）有.證：只給出單調(diào)增加情況的證明，同法可證單調(diào)減少的情況.必要性（），取(若是區(qū)間的端點(diǎn)，則只討論或).已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，有或；當(dāng)時(shí)，有或，從而，.又已知函數(shù)在可導(dǎo)，根據(jù)極限的保號(hào)性可知，有.充分性（），且，函數(shù)在區(qū)間滿足微分中值定理的條件，有，已知，有或（），即函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加.要想根據(jù)上述定理來證明不等式，首先假設(shè)不等式左右兩邊的式子分別為
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