【正文】 對(duì)位置幾率分布函數(shù)為 表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。表示向外傳播的球面波。 由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度： 從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。第二章波 函數(shù)和薛定諤方程，幾率流與時(shí)間無關(guān)。1．5 兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等，問要實(shí)現(xiàn)實(shí)種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？解 關(guān)于兩個(gè)光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的動(dòng)力學(xué)過程，如兩個(gè)光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的問題，嚴(yán)格來說，需要用到相對(duì)性量子場(chǎng)論的知識(shí)去計(jì)算，修正當(dāng)涉及到這個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，如能量守恒，動(dòng)量守恒等，我們不需要用那么高深的知識(shí)去計(jì)算，具休到本題，兩個(gè)光子能量相等，因此當(dāng)對(duì)心碰撞時(shí)，轉(zhuǎn)化為正風(fēng)電子對(duì)反需的能量最小，因而所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)也就最長(zhǎng)，而且，有此外，還有于是，有 盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長(zhǎng)，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對(duì)之類的更大質(zhì)量的粒子，那么所對(duì)應(yīng)的光子的最大波長(zhǎng)將會(huì)更小，這從某種意義上告訴我們，當(dāng)涉及到粒子的衰變，產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問題，一般所需的能量是很大的。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。此外，根據(jù)可解出 這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。解 玻爾——索末菲的量子化條件為其中q是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)，p是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈，n是正整數(shù)。1．4 利用玻爾——索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。1．3 氦原子的動(dòng)能是（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時(shí)，氦原子的德布羅意波長(zhǎng)。1．2 在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV，求其德布羅意波長(zhǎng)。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過驗(yàn)證，此解是平庸的；另外的一個(gè)解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得：x=，經(jīng)過驗(yàn)證，此解正是所要求的，這樣則有把x以及三個(gè)物理常量代入到上式便知這便是維恩位移定律。本題關(guān)注的是λ取何值時(shí)，取得極大值，因此，就得要求 對(duì)λ的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的λ的值，記作。第一章 量子理論基礎(chǔ)1．1 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)與溫度T成反比，即 T=b（常量）；并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解 根據(jù)普朗克的黑體輻射公式， （1）以及 ， （2）， （3）有這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于λ與λ+dλ之間的輻射能量密度。但要注意的是，還需要驗(yàn)證對(duì)λ的二階導(dǎo)數(shù)在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具體如下： 如果令x= ，則上述方程為這是一個(gè)超越方程。據(jù)此，我們知識(shí)物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長(zhǎng)方面移動(dòng)，這樣便會(huì)根據(jù)熱物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。解 根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，如果所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（），那么如果我們考察的是相對(duì)性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價(jià)電子的動(dòng)能僅為3eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即，因此利用非相對(duì)論性的電子的能量——?jiǎng)恿筷P(guān)系式，這樣，便有在這里，利用了以及最后，對(duì)作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動(dòng)能越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動(dòng)性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。解 根據(jù)，知本題的氦原子的動(dòng)能為顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于這樣，便有這里，利用了最后，再對(duì)德布羅意波長(zhǎng)與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動(dòng)能的數(shù)量級(jí)為kT，這樣，其相慶的德布羅意波長(zhǎng)就為據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)就越長(zhǎng)，這時(shí)這種粒子的波動(dòng)性就越明顯，特別是當(dāng)波長(zhǎng)長(zhǎng)到比粒子間的平均距離還長(zhǎng)時(shí)，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時(shí)就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布——玻色分布或費(fèi)米公布。已知外磁場(chǎng)H=10T，玻爾磁子，試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔△E，并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為μ，于是有這樣，便有這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，一正一負(fù)正好表示一個(gè)來回，運(yùn)動(dòng)了一圈。這樣，根據(jù)玻爾——索末菲的量子化條件，有 為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；這樣，便有 這時(shí)，令上式左邊的積分為A，此外再構(gòu)造一個(gè)積分這樣，便有 （1）這里 =2θ，這樣，就有 （2）根據(jù)式（1）和（2），便有這樣，便有 其中最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論。（2）當(dāng)電子在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有 這時(shí)，玻爾——索末菲的量子化條件就為 又因?yàn)閯?dòng)能耐，所以，有其中，是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且具體到本題，有根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式以及可知，當(dāng)溫度T=4K時(shí)，當(dāng)溫度T=100K時(shí)，顯然，兩種情況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。 證：對(duì)于定態(tài)，可令 可見無關(guān)。 解： 在球坐標(biāo)中 同向。 可見，反向。補(bǔ)充：設(shè)，粒子的位置幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)能否歸一化？ ∴波函數(shù)不能按方式歸一化。 一粒子在一維勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。其定態(tài)S—方程 在各區(qū)域的具體形式為 Ⅰ：① Ⅱ：② Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須 即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。對(duì)應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 . 證明（）式中的歸一化常數(shù)是 證： （） 由歸一化，得 ∴歸一化常數(shù) 求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。顯然不是最大幾率的位置。 在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。由于它們描寫的是同一個(gè)狀態(tài)，因此之間只能相差一個(gè)常數(shù)。 　　　　　　　　 ⑤ ④乘 ⑤，得 可見， 當(dāng)時(shí)，具有偶宇稱， 當(dāng)時(shí)，具有奇宇稱， 當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。 解法一：粒子所滿足的S方程為 按勢(shì)能的形式分區(qū)域的具體形式為 Ⅰ： ① Ⅱ： ② Ⅲ： ③整理后，得 Ⅰ： ④ Ⅱ：. ⑤ Ⅲ： ⑥ 令 則 Ⅰ： ⑦ Ⅱ：. ⑧ Ⅲ： ⑨ 各方程的解為 由波函數(shù)的有限性，有 因此 由波函數(shù)的連續(xù)性，有 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程組，得 解此方程即可得出B、C、D、F，進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須 ∵ ∴ 即 為所求束縛態(tài)能級(jí)所滿足的方程。+ 令 則合并： 利用 解法四：（最簡(jiǎn)方法平移坐標(biāo)軸法） Ⅰ： （χ≤0） Ⅱ： （0＜χ＜2） Ⅲ： （χ≥2） 束縛態(tài)＜＜ 因此 由波函數(shù)的連續(xù)性，有 (7)代入(6) 利用(4)、(5)，得 求束縛態(tài)的能級(jí)所滿足的方程。 定態(tài)S方程為 對(duì)各區(qū)域的具體形式為 Ⅰ： Ⅱ： Ⅲ： Ⅳ： 對(duì)于區(qū)域Ⅰ，粒子不可能到達(dá)此區(qū)域，故 而 . ① ② ③ 對(duì)于束縛態(tài)來說，有 ∴ ④ ⑤ ⑥ 各方程的解分別為 由波函數(shù)的有限性，得 ∴ 由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得