【正文】 極坐標(biāo)中為 式中為單位矢量 中的和部分是實數(shù)。方程①、③可相互進行空間反演 而得其對方，由①經(jīng)反演，可得③， ④ 由③再經(jīng)反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。 證：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài)S方程為 ① 將式中的代換，得 　　② 利用，得 ③ 比較①、③式可知，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。證：對于定態(tài)，可令 可見無關(guān)。 是 的對應(yīng)本征值為 是 的對應(yīng)本征值為 為厄密算符, 為厄密算符, 為實數(shù) 證明：考慮一維情況在特例下，令0，即由此得： 所以和描述同一個態(tài)。證：因為，所以湊全微分得：積分得： 常數(shù)3 試證明：一維運動的束縛態(tài)都是不簡并的。證：因為粒子在勢函數(shù)為的中心力場中運動時，哈密頓算答是 因為與、有關(guān)而與無關(guān)，且所以，2 試證：對于一維運動，設(shè)有兩個波函數(shù)及是對應(yīng)于同一級量E的解，則常數(shù)。20 全同粒子體系的波函數(shù)應(yīng)滿足什么條件？答：描寫全同粒子體系的波函數(shù)只能是對稱的或是反對稱的，且它們的對稱性不隨時間改變。 19 問下列算符是否是厄米算符： ① ② 解：① 因為 ∴ 不是厄米算符。④ ∴ 是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1。 ② ∴ 不是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為1。 ① ； ② ； ③ 解：①是線性算符 ②不是線性算符 ③是線性算符 17 指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。15 請寫出線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。14 若兩個力學(xué)量的算符不對易，對這兩個力學(xué)量同時進行測量時，一般地它們是否可以同時具有確定值？它們的均方偏差之間有什么樣的關(guān)系？答：不可能同時具有確定值。在這些態(tài)中，測量這兩個算符對應(yīng)的力學(xué)量時，兩個測量值是否可以同時確定？答：兩個算符存在共同的完備本征函數(shù)系的充要條件是這兩個算符對易。12 通常情況下，無限遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為什么態(tài)？一般情況下，這種態(tài)所屬的能級有什么特點？答：束縛態(tài)，能級是分立的。只需將精確解加上由微擾引起的各級修正量，逐級迭代，逐級逼近，就可得到接近問題真實的近似解。答：復(fù)雜的體系的哈密頓量 分成 與 兩部分。9 請寫出微擾理論適用條件的表達(dá)式。厄米算符的本征值必定是實數(shù)。8 為什么表示力學(xué)量的算符必須是厄米算符？答：因為所有力學(xué)量的數(shù)值都是實數(shù)。7 試簡述波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。泡利不相容原理是指不能有兩個或兩個以上的費米子處于同一狀態(tài)。在定態(tài)中，所有不顯含時間的力學(xué)量的幾率密度及向率流密度都不隨時間變化。在狀態(tài)中測量體系的能量的可能值為和，各自出現(xiàn)的幾率為和。答：的含義是：當(dāng)粒子處于和的線性疊加態(tài)時，粒子是既處于態(tài)，又處于態(tài)。4 設(shè)描寫粒子狀態(tài)的函數(shù)可以寫成，其中和為復(fù)數(shù)，和為粒子的分別屬于能量和的構(gòu)成完備系的能量本征態(tài)。3 根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋，說明量子力學(xué)中的波函數(shù)與描述聲波、光波等其它波動過程的波函數(shù)的區(qū)別。2 簡述玻恩關(guān)于波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，按這種解釋，描寫粒子的波是什么波？答：波函數(shù)的統(tǒng)計解釋是：波函數(shù)在空間中某一點的強度（振幅絕對值的平方）和在該點找到粒子的幾率成正比。《量子力學(xué)》題庫一、 簡答題1 試寫了德布羅意公式或德布羅意關(guān)系式，簡述其物理意義答：微觀粒子的能量和動量分別表示為：其物理意義是把微觀粒子的波動性和粒子性聯(lián)系起來。等式左邊的能量和動量是描述粒子性的；而等式右邊的頻率和波長則是描述波的特性的量。按這種解釋，描寫粒子的波是幾率波。答：根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋，因為粒子必定要在空間某一點出現(xiàn)，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率總和為1，因而粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點的相對強度而不決定于強度的絕對大小；因而將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，這是其他波動過程所沒有的。試說明式子的含義，并指出在狀態(tài)中測量體系的能量的可能值及其幾率?；蛘哒f，當(dāng)和是體系可能的狀態(tài)時，它們的線性疊加態(tài)也是體系一個可能的狀態(tài)；或者說，當(dāng)體系處在態(tài)時，體系部分地處于態(tài)、中。5 什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質(zhì)？答：定態(tài)是指體系的能量有確定值的態(tài)。6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？兩者的關(guān)系是什么？答：全同性原理是指由全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。兩者的關(guān)系是由全同性原理出發(fā)，推論出全同粒子體系的波函數(shù)有確定的交換對稱性，將這一性質(zhì)應(yīng)用到費米子組成的全同粒子體系，必然推出費米不相容原理。答：波函數(shù)在變量變化的全部區(qū)域內(nèi)應(yīng)滿足三個條件：有限性、連續(xù)性和單值性。而表示力學(xué)量的算符的本征值是這個力學(xué)量的可能值，所以表示力學(xué)量的算符的本征值必須是實數(shù)。所以表示力學(xué)量的算符必須是厄米算符。答：， 10 試簡述微擾論的基本思想。 是可求出精確解的，而 可看成對 的微擾。11 簡述費米子的自旋值及其全同粒子體系波函數(shù)的特點，這種粒子所遵循的統(tǒng)計規(guī)律是什么？答：由電子、質(zhì)子、中子這些自旋為的粒子以及自旋為的奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系的波函數(shù)是反對稱的，這類粒子服從費米(Fermi) －狄拉克 (Dirac) 統(tǒng)計，稱為費米子。13 簡述兩個算符存在共同的完備本征態(tài)的充要條件，并舉一例說明（要求寫出本征函數(shù)系）。例如，這兩個算符有共同的完備本征函數(shù)系。它們的均方偏差之間滿足海森堡不確定性關(guān)系。答： 16 指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。 18 下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，其本征值是什么？ ①， ② ， ③，?、?，　⑤ 解：① ∴ 不是的本征函數(shù)。 ③∴ 可見，是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1。 ⑤ ∴ 是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1。 ② ∴ 是厄米算符。二、 證明題1 已知粒子在中心力場中運動，試證明（角動量在方向的分量）是守恒量。其中，“’”是對x的微商。證明：設(shè)和是對應(yīng)于同一能級E的不同本征態(tài)，則常數(shù)。4 試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。 為厄密算符 為厄密算符5 已知軌道角動量的兩個算符 和 共同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為 ,取 試證明: 也是 和 共