【正文】 值； (5)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。解：基矢： 能量：對(duì)角元： 當(dāng)時(shí)， 15 求線性諧振子哈密頓量在動(dòng)量表象中的矩陣元。設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 由本征方程 ，得 由歸一化條件 ，得即 ∴ 對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 由本征方程 由歸一化條件，得 即 ∴ 對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 同理可求得的本征值為。（2）的可能測(cè)值及相應(yīng)的幾率。 試用微擾論求能級(jí)二級(jí)修正。解： 所以，算符的本征值為33 已知厄密算符和是二行二列矩陣，且 在A表象，算符 的矩陣為一對(duì)角矩陣,對(duì)角元素為本征值，即 34 （1）粒子在二維無(wú)限深方勢(shì)阱，請(qǐng)寫出能級(jí)和能量本征函數(shù)；（2）加上微擾，求最低能級(jí)的一級(jí)微擾修正。 本征值 37 一維諧振子在 時(shí)的歸一化波函數(shù)為 所描寫的態(tài)中式中， 是諧振子的能量本征函數(shù)，求（1） 的數(shù)值；（2）在 態(tài)中能量的可能值，相應(yīng)的概率及平均值；（3） 時(shí)系統(tǒng)的波函數(shù) 。 ，在半徑為，厚度為的球殼內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率為2 ，為單位矩陣，則算符的本征值為__________。12．量子力學(xué)中，原子的軌道半徑實(shí)際是指____________________。 18．設(shè)粒子處于態(tài) ， 為歸一化波函數(shù)， 為球諧函數(shù)，則系數(shù)c的取值為 1, 177。27． 考慮自旋后，波函數(shù)在自旋空間表示為 （已歸一化），則 的意義為_____________________；_________________。16．力學(xué)量算符 在態(tài) 下的平均值可寫為 的條件為____________________________。10．在定態(tài)條件下，守恒的力學(xué)量是_______________________。解：因?yàn)? 所以， 同理， 另解：令，得，所以，四 填空題1 為歸一化波函數(shù)，粒子在方向、立體角內(nèi)出現(xiàn)的幾率為 利用了公式 的精確解為 ， ；， ； 解： 則解：（1）（1）而一維無(wú)限深勢(shì)場(chǎng)中的能量本征函數(shù)為，對(duì)應(yīng)的本征值為所以本題中，粒子的能量的可能值是，出現(xiàn)的幾率均為1/2。 29 求一維諧振子的坐標(biāo)及Hamilton量在能量表象中的矩陣表示。問體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？解：體系可能的狀態(tài)有4個(gè)。22 求的本征值和所屬的本征函數(shù)。11 求 解： = 0 12 求 解： = 0 13 求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量的矩陣元和的矩陣元。4 一維諧振子處在基態(tài)，求： (1)勢(shì)能的平均值； (2)動(dòng)能的平均值； (3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。2 一粒子在一維勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。 是 的對(duì)應(yīng)本征值為 是 的對(duì)應(yīng)本征值為 另一方法是根據(jù)厄密算符的定義：用于積分最后一式：前式=說(shuō)明題給的算符滿足厄密算符定義。8 證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是 證：電子的電流密度為 在球極坐標(biāo)中為 式中為單位矢量 中的和部分是實(shí)數(shù)。 是 的對(duì)應(yīng)本征值為 是 的對(duì)應(yīng)本征值為 證：因?yàn)榱Ｗ釉趧?shì)函數(shù)為的中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，哈密頓算答是 因?yàn)榕c、有關(guān)而與無(wú)關(guān)，且所以，2 試證：對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)，設(shè)有兩個(gè)波函數(shù)及是對(duì)應(yīng)于同一級(jí)量E的解，則常數(shù)。 ② ∴ 不是的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為1。在這些態(tài)中，測(cè)量這兩個(gè)算符對(duì)應(yīng)的力學(xué)量時(shí)，兩個(gè)測(cè)量值是否可以同時(shí)確定？答：兩個(gè)算符存在共同的完備本征函數(shù)系的充要條件是這兩個(gè)算符對(duì)易。9 請(qǐng)寫出微擾理論適用條件的表達(dá)式。泡利不相容原理是指不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài)。4 設(shè)描寫粒子狀態(tài)的函數(shù)可以寫成，其中和為復(fù)數(shù)，和為粒子的分別屬于能量和的構(gòu)成完備系的能量本征態(tài)。等式左邊的能量和動(dòng)量是描述粒子性的；而等式右邊的頻率和波長(zhǎng)則是描述波的特性的量。或者說(shuō)，當(dāng)和是體系可能的狀態(tài)時(shí)，它們的線性疊加態(tài)也是體系一個(gè)可能的狀態(tài)；或者說(shuō)，當(dāng)體系處在態(tài)時(shí)，體系部分地處于態(tài)、中。答：波函數(shù)在變量變化的全部區(qū)域內(nèi)應(yīng)滿足三個(gè)條件：有限性、連續(xù)性和單值性。 是可求出精確解的，而 可看成對(duì) 的微擾。它們的均方偏差之間滿足海森堡不確定性關(guān)系。 ⑤ ∴ 是的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為－1。證明：設(shè)和是對(duì)應(yīng)于同一能級(jí)E的不同本征態(tài)，則常數(shù)。也是 和 共同本征函數(shù), 對(duì)應(yīng)本征值分別為: 。7 在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。 12 對(duì)于無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子（如圖所示）證明 并證明當(dāng)時(shí)上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)論一致。18 試證明：一維運(yùn)動(dòng)的束縛態(tài)都是不簡(jiǎn)并的。 也是 和 共同本征函數(shù), 對(duì)應(yīng)本征值分別為: 。三、 計(jì)算題1 由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度： 從所得結(jié)果說(shuō)明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。 方程(2)可變?yōu)? 令，得 其解為 ④ 根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A，B，由