【正文】 的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。 也是 和 共同本征函數(shù), 對應(yīng)本征值分別為: 。證明：設(shè)和是對應(yīng)于同一能級(jí)E的不同本征態(tài)，則常數(shù)。二、 證明題1 已知粒子在中心力場中運(yùn)動(dòng)，試證明（角動(dòng)量在方向的分量）是守恒量。 ⑤ ∴ 是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1。 18 下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，其本征值是什么？ ①， ② ， ③，　④，?、? 解：① ∴ 不是的本征函數(shù)。它們的均方偏差之間滿足海森堡不確定性關(guān)系。13 簡述兩個(gè)算符存在共同的完備本征態(tài)的充要條件，并舉一例說明（要求寫出本征函數(shù)系）。 是可求出精確解的，而 可看成對 的微擾。所以表示力學(xué)量的算符必須是厄米算符。答：波函數(shù)在變量變化的全部區(qū)域內(nèi)應(yīng)滿足三個(gè)條件：有限性、連續(xù)性和單值性。6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？兩者的關(guān)系是什么？答：全同性原理是指由全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。或者說，當(dāng)和是體系可能的狀態(tài)時(shí)，它們的線性疊加態(tài)也是體系一個(gè)可能的狀態(tài)；或者說，當(dāng)體系處在態(tài)時(shí)，體系部分地處于態(tài)、中。答：根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋，因?yàn)榱Ｗ颖囟ㄒ诳臻g某一點(diǎn)出現(xiàn)，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率總和為1，因而粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對強(qiáng)度而不決定于強(qiáng)度的絕對大小；因而將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，這是其他波動(dòng)過程所沒有的。等式左邊的能量和動(dòng)量是描述粒子性的；而等式右邊的頻率和波長則是描述波的特性的量。2 簡述玻恩關(guān)于波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，按這種解釋，描寫粒子的波是什么波？答：波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋是：波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對值的平方）和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成正比。4 設(shè)描寫粒子狀態(tài)的函數(shù)可以寫成，其中和為復(fù)數(shù)，和為粒子的分別屬于能量和的構(gòu)成完備系的能量本征態(tài)。在狀態(tài)中測量體系的能量的可能值為和，各自出現(xiàn)的幾率為和。泡利不相容原理是指不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài)。8 為什么表示力學(xué)量的算符必須是厄米算符？答：因?yàn)樗辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)。9 請寫出微擾理論適用條件的表達(dá)式。只需將精確解加上由微擾引起的各級(jí)修正量，逐級(jí)迭代，逐級(jí)逼近，就可得到接近問題真實(shí)的近似解。在這些態(tài)中，測量這兩個(gè)算符對應(yīng)的力學(xué)量時(shí)，兩個(gè)測量值是否可以同時(shí)確定？答：兩個(gè)算符存在共同的完備本征函數(shù)系的充要條件是這兩個(gè)算符對易。15 請寫出線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。 ② ∴ 不是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為1。 19 問下列算符是否是厄米算符： ① ② 解：① 因?yàn)? ∴ 不是厄米算符。證：因?yàn)榱Ｗ釉趧莺瘮?shù)為的中心力場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，哈密頓算答是 因?yàn)榕c、有關(guān)而與無關(guān)，且所以，2 試證：對于一維運(yùn)動(dòng)，設(shè)有兩個(gè)波函數(shù)及是對應(yīng)于同一級(jí)量E的解，則常數(shù)。在特例下，令0，即由此得： 所以和描述同一個(gè)態(tài)。 是 的對應(yīng)本征值為 是 的對應(yīng)本征值為 證：在一維勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S方程為 ① 將式中的代換，得 　?、? 利用，得 ③ 比較①、③式可知，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。8 證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是 證：電子的電流密度為 在球極坐標(biāo)中為 式中為單位矢量 中的和部分是實(shí)數(shù)。[解]寫出歸一化波函數(shù)： （1）先計(jì)算坐標(biāo)平均值：利用公式： （2）得 （3）計(jì)算均方根值用以知，可計(jì)算利用公式 （5） （6） 在經(jīng)典力學(xué)的一維無限深勢阱問題中，因粒子局限在（0，a）范圍中運(yùn)動(dòng)，各點(diǎn)的幾率密度看作相同，由于總幾率是1，幾率密度。另一方法是根據(jù)厄密算符的定義：用于積分最后一式：前式=說明題給的算符滿足厄密算符定義。證明：設(shè)和是對應(yīng)于同一能級(jí)E的不同本征態(tài)，則常數(shù)。 是 的對應(yīng)本征值為 是 的對應(yīng)本征值為 解： 在球坐標(biāo)中 同向。2 一粒子在一維勢場 中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對應(yīng)的波函數(shù)。對應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 3 求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。4 一維諧振子處在基態(tài)，求： (1)勢能的平均值； (2)動(dòng)能的平均值； (3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。 (4) (5) 動(dòng)量幾率分布函數(shù) 6 設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為 求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。11 求 解： = 0 12 求 解： = 0 13 求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量的矩陣元和的矩陣元。用微擾公式求能量至二級(jí)修正值。22 求的本征值和所屬的本征函數(shù)。 在這些本征態(tài)中，測量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？的平均值是多少？解：在 表象，的矩陣元為其相應(yīng)的久期方程為