【正文】 ???????????????????????????????如果取 |c|2 (2π ?)3=1則 ψ p(r) 就可 歸一化為 δ 函數(shù)?！? 提奇馬什 “只要一門(mén)科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題， 它就充滿(mǎn)著生命力，而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著 獨(dú)立發(fā)展的衰亡和終止。 什么類(lèi)型的算符，本征值為實(shí)數(shù)？ ?H ?E Ep??p p??F F ?F? ?F ?四、量子力學(xué)中力學(xué)量用算符表示的規(guī)則： 如果量子力學(xué)中的力學(xué)量 在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量的算符 由經(jīng)典表示式 中將 換為算符 而得出： ? ? ?? ?( , ) ( , ) ( 6 )F F r p F r i? ? ? ? 　 　 　 　?FF? ( , )F r p p?p例如，角動(dòng)量算符： L r p???i j kL i x y zx y z???????? ????? ? ???? ? ???量子力學(xué)中的角動(dòng)量算符： ?????? riprL ????? ???也是厄密算符）（）（是厄密算符，則如果 ABBAABBA ????2i1,????21B?,A? ???]?,?[ ?xpx計(jì)算對(duì)易關(guān)系：指出下列算符哪個(gè)是線性的，說(shuō)明其理由 。 ２、算符 表示力學(xué)量 ，當(dāng)體系處于 的本征態(tài) 時(shí)，力學(xué)量有確定值，這個(gè)值即 在 態(tài)中的本征值。 二、力學(xué)量用厄米算符表示 (Hermit operator) １、當(dāng)體系處于定態(tài)，即哈密頓算符 的本征態(tài) 時(shí)，能量有確定值 ， 即本征值。三、算符的本征值方程 三、力學(xué)量用線性厄米算符表示－量子力學(xué)的基本假設(shè) 并不是任意形式的數(shù)學(xué)算符都可以用來(lái)表示力學(xué)量， 能用來(lái)表示力學(xué)量的算符受到物理?xiàng)l件的限制： 算符的作用不應(yīng)該鋪貨波函數(shù)的疊加原理。　 　 如 定 態(tài) 薛 定 諤 方 程 ， 是 哈 密 頓 算 符 的 本 征值 方 程 ， 為 本 征 值 。 xx ??)1( 坐標(biāo)算符?????? dxdx ?? ? *)()(*?設(shè) 和 是任意的兩個(gè)波函數(shù)，顯然有 ?(x為實(shí)數(shù) x*=x) 所以坐標(biāo)算符是厄米算符 xip ???? ??)2( 動(dòng)量算符dxxidxp )(*)?(* ???????? ?? ??????????設(shè) 和 是任意的兩個(gè)波函數(shù)，有 ?dxxi???? ??????? *?????????????? ????????? dxxi**?????dxxi??? ?????*??? dxp ???????? *)?(.0??? ?? ，時(shí)，利用了 x所以動(dòng)量算符是厄米算符 ????? ?FFFFH E HE??? ? ?? ? ?????　 　 如 果 一 個(gè) 算 符 作 用 于 一 個(gè) 函 數(shù) ， 結(jié) 果 等 于 乘上 一 個(gè) 常 數(shù) ，　 　 　 　 　 （ 2 ）則 稱(chēng) 為 的 本 征 值 ， 為 屬 于 的 本 征 函 數(shù) 。 才成立。)+ = 212。] = 0 成立時(shí) , (212。 僅當(dāng) [212。 ≠ 212。 + = 219。)+ = 219。 因?yàn)? (212。+219。 + + 219。+219。+ = 219。 + = 212。 + ?? *)]?(*[ ??? Od?? **? ??? Od????? *~?* Od1厄密算符 1. 定義 : 滿(mǎn)足下列關(guān)系的算符稱(chēng)為厄密算符 . OOOdOd??*)?(?*?????或??????2. 性質(zhì) 性質(zhì) I:兩個(gè)厄密算符之和仍是厄密算符。+ 194。 219。 + (212。 )+ = 194。+ 定義 : 可以證明 : (212。 0)(* ~ ??? ??? ???? ??xxdxxxxx ???????? ????? ~~ 0)(xx pp ?~? ??由于 ψ 、 φ 是任意波函數(shù) , 所以 ? ??? ??? *?? xdx? ??? ??? ?? ?? ???? xdx *|* ? ??? ???? ?? xdx *同理可證 : 1厄密共軛算符 ?????? ?? ?? *)?(?* OdOd?????? ?? ?? *)?(?* OdOd由此可得： : 轉(zhuǎn)置算符 的定義 *~?? OO ??厄密共軛 算符亦可 寫(xiě)成： 算符 212。表達(dá)式中 的所有量換成復(fù)共軛 . piip?*)(*????????????例如 : 坐標(biāo)表象中 是兩個(gè)任意函數(shù)。的復(fù)共軛算符 219。 的函數(shù) F(219。1 212。 219。, 219。 212。1 212。 1 212。 1(212。1]=0 證 : ψ=212。=I , [212。1= 212。1 存在 ,則 212。1 φ = ψ 并不是所有算符都存在逆算符 ,例如投影算符就不存在逆 . I: 若算符 212。 之逆 212。 ???? ??ipx ?]?,[返回 逆算符 1. 定義 : 設(shè) 212。,219。]] + [202。,[202。,202。] 4) [212。[212。]202。] = [212。,219。, 202。,219。+202。] 2) [212。] = [219。 坐標(biāo)和動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系 可改寫(xiě)成如下形式： 不難證明對(duì)易括號(hào)滿(mǎn)足如下對(duì)易關(guān)系： 1) [212。 219。 ]≡212。 對(duì)易括號(hào) 為表述簡(jiǎn)潔，運(yùn)算便利和研究量子力學(xué)與 經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，定了 對(duì)易括號(hào)： [212。與 202。與 202。 與 219。 寫(xiě)成通式 : 但是坐標(biāo)算符與其非共軛動(dòng)量 對(duì)易，各動(dòng)量之間相互對(duì)易。和 219。212。219。 對(duì)易。 ??? xxx xiixpx ???? ???? ?? )(?)1(證：??ixppxixppxxppxxxxxxx???????????所以是任意波函數(shù)，因?yàn)椋ǘ??????? xxx xiixixp ???? ????? ??? )(?)2(對(duì)易關(guān)系 不對(duì)易。 與 219。212。219。 這是算符與通常數(shù)運(yùn)算 規(guī)則的唯一不同之處。 ≠ 219。 一般來(lái)說(shuō)算符之積不滿(mǎn)足交換律，即 212。=202。ψ 則 212。219。(219。 很易證明線性算符之和仍為線性算符。+（ 219。219。和勢(shì)能算符體系動(dòng)能算符等于算符表明VTHH a m i l t o nVTH?????? ??例如：體系 Hamilton 算符 注意，算符運(yùn)算沒(méi)有相減，因?yàn)闇p可用加來(lái)代替。 顯然，算符求和滿(mǎn)足交換率和結(jié)合率 。 = 202。ψ 則 212。ψ+219。 + 219。、 219。 注意：描寫(xiě)可觀測(cè)量的力學(xué)量算符都是線性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。 = 219。 和算符 219。ψ= 219。、 219。ψ 2 其中 c1, c2是任意復(fù)常數(shù)， ψ 1, ψ 1是任意兩個(gè)波函數(shù)。(c1ψ 1+c2ψ 2)= c1212。?： )(2? 22rUH ?? ???? ?)(22rUpH ??? ?經(jīng)典哈密頓函數(shù) 。 由于算符只是一種運(yùn)算符號(hào)，所以它單獨(dú)存在是沒(méi)有意義的，僅當(dāng)它作用于波函數(shù)上，對(duì)波函數(shù)做相應(yīng)的運(yùn)算才有意義，例如： 一、算符定義 算符的例子 ： zzyyxxrr ???? ?,?,?。 x u = v， x 也是算符。 就是這種變 換的算符。 u = v 表示 212。 8 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 一、算符定義 二、算符的一般特性 三、算符的本征值方程 167。 6 算符與力學(xué)量的關(guān)系 ?167。 4 氫原子 ? 167。 2 動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符 ?167。第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量 – 167。 1表示力學(xué)量的算符 ?167。 3 電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) ?167。 5 厄密算符的本征值與本征函數(shù) ?167。 7 共同本征函數(shù) ?167。 1 表示力學(xué)量的算符 代表對(duì)波函數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算或變換的符號(hào) 212。 把函數(shù) u 變成 v， 212。 du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是對(duì)函數(shù) u 微商， 故稱(chēng)為微商算符。 它對(duì) u 作用 是使 u 變成 v。? ??： zipyipxipipzyx?????????????????????,?,?。? ???? ?? ipp（ 7）逆算符 （ 8）算符函數(shù) （ 9）復(fù)共軛算符 （ 10）轉(zhuǎn)置算符 （ 11）厄密共軛算符 （ 12） 厄密算符 （ 1）線性算符 （ 2）算符相等 （ 3）算符之和 （ 4）算符之積 （ 5）對(duì)易關(guān)系 （ 6）對(duì)易括號(hào) 二、算符的一般特性 線性算符 212。ψ 1+c2212。 算符相等 若兩個(gè)算符 212。對(duì)體系的任何波函數(shù) ψ 的運(yùn)算結(jié)果都相 同，即 212。ψ ，則算符 212。 相等記為 212。 Iip??單位算符動(dòng)量算符 ??? ??例如： 開(kāi)方算符、取復(fù)共軛就不是線性算符。 算符之和 若兩個(gè)算符 212。 對(duì)體系的任何波函數(shù) ψ 有： (212。)ψ=212。ψ=202。 + 219。 稱(chēng)為算符之和。 之和。 212。 = 212。）。 算符之積 若 212。ψ )=(212。)ψ=202。219。 其中 ψ 是任意波函數(shù)。219。212。 對(duì)易關(guān)系 若 212。 ≠ 219。 ，則稱(chēng) 212。不對(duì)易。例如：算符???????xxipx??顯然二者結(jié)果不相等 ?????????izppziyppyzzyy????與共軛動(dòng)量滿(mǎn)足同理可證其它坐標(biāo)算符0????0????0????0??0??0??0??0??0?????????????????????????????zxxzyzzyxyyxyyxxzzxxzzyyppppppppppppzppzzppzyppyyppyxppxxppxzyxppppixppx,0???????????????????????? ?量子力學(xué)中最基本的 對(duì)易關(guān)系。與對(duì)易，而與對(duì)易，與不對(duì)易；與對(duì)易，但是與對(duì)易，與zpzpppIIxpxpppIxyyxxyyx????)(????)(若算符滿(mǎn)足 212。 = 219。 則稱(chēng) 212。 反對(duì)易。 注意：當(dāng) 212。對(duì)易， 219。對(duì)易，不能推知 212。對(duì)易與否。,219。219。212。,219。,212。,219。] = [212。 ] + [212。] 3) [212。202。,219。+ 219。,202。,[219。]] + [219。, 212。,[ 212。]] = 0 上面的第四式稱(chēng)為 Jacobi 恒等式。ψ=φ, 能夠唯一的解出 ψ, 則可定義 算符 212。1為 :212。 之逆 212。 212。1 212。 , 212。 1φ= 212。 ψ)=212。ψ 因?yàn)?ψ 是任意函數(shù) ,所以 212。 = I成立 . 同理 , 212。1 = I 亦成立 . II: 若 212。 均存在逆算符 , 則 (212。)1 = 219。1 例如 : nnFnxxFn!)0(0)()( ????設(shè)給定一函數(shù) F(x), 其各階導(dǎo)數(shù)均存在 , 其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)收斂 則可定義算符 219。)為 : nnFnUUF n ?)?( ! )0(0)(????ninntHitHe ]?[!10??? ?? ????算符函數(shù) 復(fù)共軛算符 算符 219。*就是把 219。和式中