【正文】 數(shù)為 表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。表示向內(nèi)(即向原點) 傳播的球面波。表示向外傳播的球面波。 由下列定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度： 從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點) 傳播的球面波。第二章波 函數(shù)和薛定諤方程，幾率流與時間無關(guān)。1．5 兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負電子對，如果兩光子的能量相等，問要實現(xiàn)實種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？解 關(guān)于兩個光子轉(zhuǎn)化為正負電子對的動力學過程，如兩個光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負電子對的問題，嚴格來說，需要用到相對性量子場論的知識去計算，修正當涉及到這個過程的運動學方面，如能量守恒，動量守恒等，我們不需要用那么高深的知識去計算，具休到本題，兩個光子能量相等，因此當對心碰撞時，轉(zhuǎn)化為正風電子對反需的能量最小，因而所對應(yīng)的波長也就最長，而且，有此外，還有于是，有 盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長，但從數(shù)值上看，也是相當小的，我們知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對之類的更大質(zhì)量的粒子，那么所對應(yīng)的光子的最大波長將會更小，這從某種意義上告訴我們，當涉及到粒子的衰變，產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問題，一般所需的能量是很大的。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。此外，根據(jù)可解出 這表示諧振子的正負方向的最大位移。解 玻爾——索末菲的量子化條件為其中q是微觀粒子的一個廣義坐標，p是與之相對應(yīng)的廣義動量，回路積分是沿運動軌道積一圈，n是正整數(shù)。1．4 利用玻爾——索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。1．3 氦原子的動能是（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時，氦原子的德布羅意波長。1．2 在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過驗證，此解是平庸的；另外的一個解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計算法獲得：x=，經(jīng)過驗證，此解正是所要求的，這樣則有把x以及三個物理常量代入到上式便知這便是維恩位移定律。本題關(guān)注的是λ取何值時，取得極大值，因此，就得要求 對λ的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的λ的值，記作。量子力學習題及解答第一章 量子理論基礎(chǔ)1．1 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長與溫度T成反比，即 T=b（常量）；并近似計算b的數(shù)值，準確到二位有效數(shù)字。解 根據(jù)普朗克的黑體輻射公式， （1）以及 ， （2）， （3）有這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于λ與λ+dλ之間的輻射能量密度。但要注意的是，還需要驗證對λ的二階導(dǎo)數(shù)在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具體如下： 如果令x= ，則上述方程為這是一個超越方程。據(jù)此，我們知識物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長方面移動，這樣便會根據(jù)熱物體（如遙遠星體）的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。解 根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（），那么如果我們考察的是相對性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價電子的動能僅為3eV，遠遠小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即，因此利用非相對論性的電子的能量——動量關(guān)系式，這樣，便有在這里，利用了以及最后，對作一點討論，從上式可以看出，當粒子的質(zhì)量越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強；同樣的，當粒子的動能越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。解 根據(jù)，知本題的氦原子的動能為顯然遠遠小于這樣，便有這里，利用了最后，再對德布羅意波長與溫度的關(guān)系作一點討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動能的數(shù)量級為kT，這樣，其相慶的德布羅意波長就為據(jù)此可知，當體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長就越長，這時這種粒子的波動性就越明顯，特別是當波長長到比粒子間的平均距離還長時，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計分布——玻色分布或費米公布。已知外磁場H=10T，玻爾磁子，試計算運能的量子化間隔△E，并與T=4K及T=100K的熱運動能量相比較。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為μ，于是有這樣，便有這里的正負號分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負方向運動，一正一負正好表示一個來回，運動了一圈。這樣，根據(jù)玻爾——索末菲的量子化條件，有 為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；這樣，便有 這時，令上式左邊的積分為A，此外再構(gòu)造一個積分這樣，便有 （1）這里 =2θ，這樣，就有 （2）根據(jù)式（1）和（2），便有這樣，便有 其中最后，對此解作一點討論。（2）當電子在均勻磁場中作圓周運動時，有 這時，玻爾——索末菲的量子化條件就為 又因為動能耐，所以，有其中，是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且具體到本題，有根據(jù)動能與溫度的關(guān)系式以及可知，當溫度T=4K時，當溫度T=100K時，顯然，兩種情況下的熱運動所對應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。 證：對于定態(tài)，可令 可見無關(guān)。 解： 在球坐標中 同向。 可見，反向。補充：設(shè)，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化？ ∴波函數(shù)不能按方式歸一化。 一粒子在一維勢場 中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。其定態(tài)S—方程 在各區(qū)域的具體形式為 Ⅰ：① Ⅱ：② Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須 即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。對應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 . 證明（）式中的歸一化常數(shù)是 證： （） 由歸一化，得 ∴歸一化常數(shù) 求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。顯然不是最大幾率的位置。 在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。由于它們描寫的是同一個狀態(tài)，因此之間只能相差一個常數(shù)。 　　　　　　　　 ⑤ ④乘 ⑤，得 可見， 當時，具有偶宇稱， 當時，具有奇宇稱， 當勢場滿足時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。 解法一：粒子所滿足的S方程為 按勢能的形式分區(qū)域的具體形式為 Ⅰ： ① Ⅱ： ② Ⅲ： ③整理后，得 Ⅰ： ④ Ⅱ：. ⑤ Ⅲ： ⑥ 令 則 Ⅰ： ⑦ Ⅱ：. ⑧ Ⅲ： ⑨ 各方程的解為 由波函數(shù)的有限性，有 因此 由波函數(shù)的連續(xù)性，有 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程組，得 解此方程即可得出B、C、D、F，進而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須 ∵ ∴ 即 為所求束縛態(tài)能級所滿足的方程。+ 令 則合并： 利用 解法四：（最簡方法平移坐標軸法） Ⅰ： （χ≤0） Ⅱ： （0＜χ＜2） Ⅲ： （χ≥2） 束縛態(tài)＜＜ 因此 由波函數(shù)的連續(xù)性，有 (7)代入(6) 利用(4)、(5)，得 求束縛態(tài)的能級所滿足的方程。 定態(tài)S方程為 對各區(qū)域的具體形式為 Ⅰ： Ⅱ： Ⅲ： Ⅳ： 對于區(qū)域Ⅰ，粒子不可能到達此區(qū)域，故 而 . ① ② ③ 對于束縛態(tài)來說，有 ∴ ④ ⑤ ⑥ 各方程的解分別為 由波函數(shù)的有限性，得 ∴ 由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得