【正文】 ) 設(shè) BC邊上的高為 h, 則 ? BC (3)若 AC=4,AB=5,求菱形 ADCF的面積 . ? 解析 (1)證明 :在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,D是 BC的中點 ,E是 AD的中點 .過點 A作 AF ∥ BC交 BE的延長線于點 F. (1)求證 :△ AEF≌ △ DEB。 (2)∠ BEF=∠ BFE. ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AD=CD,∠ A=∠ C, ∵ DE⊥ AB,DF⊥ CB, ∴∠ AED=∠ CFD=90176。,可得 DF=5,所以 EO=,又四邊形 EFBC 為菱形 ,所以 FO=CO=,所以 AF=CD==). 756.(2022云南 ,20,8分 )如圖 ,△ ABC是以 BC為底的等腰三角形 ,AD是邊 BC上的高 ,點 E、 F分別是 AB、 AC的中點 . (1)求證 :四邊形 AEDF是菱形 。 (2)若 EF=3,DE=4,∠ DEF=90176。例如 ,當 E,F,G,H不是各邊中點 ,且 ? = ? =? =? =? ,BD=2AC時 ,由上述可知四邊形 EFGH為平行四邊形 ,所以 ? =? =? ,? = ? =? ,即 ? =? ,所以 ? =? ,即 EF=EH,所以四邊形 EFGH為菱形 ,選項 D錯誤 .綜上 , 選 D. 121212 12DHAD DGDCBEAB BFBC DHAD GHCA BEBA EFACDHADDGDC BEAB BFBC 23BEAB EFAC 23AEABEHBD 13EFAC 2 EHBD 2EFAC EHBD4.(2022寧夏 ,5,3分 )菱形 ABCD的對角線 AC,BD相交于點 O,E,F分別是 AD,CD邊上的中點 ,連接 EF=? ,BD=2,則菱形 ABCD的面積為 ? ( ) ? ? ? ? ? 22 2 2 2答案 A 因為 E,F分別是 AD,CD邊上的中點 ,所以 EF∥ AC,且 EF=? AC,所以 AC=2EF=2? ,所 以 S菱形 ABCD=? AC當 AC⊥ BD時 ,因 為 EF∥ AC,EH∥ BD,所以 EF⊥ EH,所以四邊形 EFGH為矩形 ,選項 B正確 。+PN的最小值為線段 M39。N,M39。, ∴∠ CDF=∠ ADP,∴ △ CDF∽ △ ADP, ∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ CF=? . CFAP DCAD2CF683241.(2022陜西 ,8,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,點 E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點 , 連接 EF、 FG、 GH和 EH=2EF,則下列結(jié)論正確的是 ? ( ) ? =? EF =? EF =2EF =? EF 2 35考點二 菱形 答案 D 如圖 ,連接 AC、 BD交于 O, ? ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD, ∵ 點 E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點 , ∴ EF=? AC,EH=? BD, ∵ EH=2EF,∴ BD=2AC,∴ OB=2OA, ∴ AB=? =? OA, 易知 OA=EF,∴ AB=? EF,故選 D. 12 1222OB OA? 552.(2022新疆 ,9,5分 )如圖 ,點 P是邊長為 1的菱形 ABCD對角線 AC上的一個動點 ,點 M,N分別是 AB, BC邊上的中點 ,則 MP+PN的最小值是 ? ( ) ? A.? C.? 122答案 B 如圖 ,取 AD的中點 M39。,∴∠ PAD=∠ FCD. ∴ △ ADP∽ △ CDF,∴ ? =? =? .∵ AP=? ,∴ CF=? . ? CFAP CDAD 342 324易錯警示 在第 (1)問中 ,分三種情況 CP=CD、 PD=PC、 DP=DC討論 ,不能丟解 . 一題多解 在第 (2)問中 ,連接 PF,DE,PF與 DE相交于點 O,連接 OC. ∵ 四邊形 DPEF是矩形 ,∴ OP=OE=OD=OF. ∵ △ ECD是直角三角形 ,∴ OC=OE=OD. ∴ D、 P、 E、 C、 F都在以 O為圓心 ,OC為半徑的圓上 , ∴∠ PCF=∠ BCD=90176。, 即 ∠ PCD+∠ FCD=90176。, ∴ 2∠ OCP+2∠ OCF=180176。, 即 ∠ ADP+∠ PDC=∠ PDC+∠ CDF, ∴∠ ADP=∠ CDF. ∵∠ BCD=90176。DC=? AC, ∴ DC=AB=6,∴ AC=? =10. 要使△ PCD是等腰三角形 ,有如下三種情況 : ① 當 CP=CD時 ,CP=6,∴ AP=ACCP=4. ② 當 PD=PC時 ,∠ PDC=∠ PCD, ∵∠ PCD+∠ PAD=∠ PDC+∠ PDA=90176。 (2)若 BD=EF,連接 EB, EBFD的形狀 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ OB=OD,OA=OC. 又 ∵ AE=CF,∴ OAAE=OCCF,即 OE=OF, 在△ DOE和△ BOF中 ,? ∴ △ DOE≌ △ BOF.? (5分 ) (2)四邊形 EBFD是矩形 .理由如下 : ∵ BD,EF相交于點 O, OD=OB,OE=OF, ∴ 四邊形 EBFD是平行四邊形 . 又 ∵ BD=EF,∴ 四邊形 EBFD是矩形 .? (8分 ) ,O E O FD O E B O FO D O B???? ? ??? ??8.(2022福建 ,24,12分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AB=6,AD=8,P,E分別是線段 AC,BC上的點 ,且四邊形 PEFD為矩形 . (1)若△ PCD是等腰三角形 ,求 AP的長 。, ∴∠ BAM=∠ ∵∠ B=∠ AED=90176。, 即△ ADE為等腰直角三角形 , 根據(jù)勾股定理得 AE=? =3? ,所以 AB=AE=3? . 2233? 2 2解題關(guān)鍵 熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵 . 6.(2022黑龍江哈爾濱 ,20,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,M為 BC邊上一點 ,連接 AM,過點 D作 DE⊥ AM,垂足為 E,若 DE=DC=1,AE=2EM,則 BM的長為 . ? 答案 ? 255解析 ∵∠ BAM+∠ EAD=90176。,所以 ∠ 1+∠ 2=∠ DAG=60176。,由第一次折疊可知 ,MN=AN,即 NG 是 Rt△ AMG的中線 ,故 AN=GN,所以 ∠ 2=∠ EF∥ AB,所以 ∠ 3=∠ 4,故 ∠ 1=∠ 2=∠ 4,又因為 ∠ 1+∠ 2+∠ 4=90176。 176。 176。,故在直角三角形 ABD中 ,BD=2AB=8,所以 AC=8,所以 OC=? AC=4,故選 B. 12124.(2022四川南充 ,8,3分 )如圖 ,對折矩形紙片 ABCD,使 AB與 DC重合得到折痕 EF,將紙片展平 。2022— 2022年全國中考題組 考點一 矩形 五年中考 1.(2022新疆 ,7,5分 )如圖 ,矩形紙片 ABCD中 ,AB=6 cm,BC=8 AE對折 ,使得點 B落在 邊 AD上的點 B1處 ,折痕與邊 BC交于點 E,則 CE的長為 ? ( ) ? cm cm cm cm 答案 D 由題意可知 ,BE=AB=6 cm,∴ CE=BCBE=86=2 D. 2.(2022上海 ,6,4分 )已知平行四邊形 ABCD,AC、 BD是它的兩條對角線 ,那么下列條件中 ,能判 斷這個平行四邊形為矩形的是 ? ( ) A.∠ BAC=∠ DCA B.∠ BAC=∠ DAC C.∠ BAC=∠ ABD D.∠ BAC=∠ ADB 答案 C 如圖 ,設(shè) AC與 BD交于點 O, ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ OA=OC,OB=OD, 當 ∠ BAC=∠ ABD時 ,OA=OB, ∴ AC=BD,∴ ?ABCD為矩形 ,故選 C. ? 3.(2022甘肅蘭州 ,8,4分 )如圖 ,矩形 ABCD的對角線 AC與 BD相交于點 O,∠ ADB=30176。,AB=4,則 OC =? ( ) ? 答案 B 因為四邊形 ABCD為矩形 ,所以 AC=BD,OC=? ∠ ADB=30176。再 一次折疊 ,使點 D落到 EF上點 G處 ,并使折痕經(jīng)過點 A,展平紙片后 ∠ DAG的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 答案 C 如圖 ,根據(jù)第二次折疊可知 ,∠ 1=∠ 2,∠ MGA=90176。,所以 ∠ 1=∠ 2=∠ 4=30176。,故選 C. ? 5.(2022江西 ,10,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AD=3,將矩形 ABCD繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn) ,得到矩形 AE FG,點 B的對應(yīng)點 E落在 CD上 ,且 DE=EF,則 AB的長為 . ? 答案 3? 2解析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,得 BC=EF,AB=AE,又四邊形 ABCD為矩形 ,DE=EF,∴ AD=DE=3,∠ D= 90176。,∠ EAD+∠ EDA=90176。, ∴ △ ADE∽ △ MAB,∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ AE=BM. 由 AE=2EM可設(shè) AE=2x,EM=x(x0),則 BM=2x, 在 Rt△ ABM中 ,由勾股定理可知 (2x+x)2=12+(2x)2, 解得 x=? (舍負 ),∴ BM=2x=? . AEBM DEAB AEBM 1155 2557.(2022新疆 ,19,8分 )如圖 ,?ABCD的對角線 AC,BD相交于點 ,F是 AC上的兩點 ,并且 AE=CF, 連接 DE,BF. (1)求證 :△ DOE≌ △ BOF。 (2)若 AP=? ,求 CF的長 . ? 2解析 (1)在矩形 ABCD中 ,AB=6,AD=8,∠ ADC=90176。, ∴∠ PAD=∠ PDA,∴ PD=PA , ∴ PA =PC,∴ AP=? ,即 AP=5. ③ 當 DP=DC時 ,過 D作 DQ⊥ AC于 Q,則 PQ=CQ. ∵ S△ ADC=? ADDQ, ∴ DQ=? =? , ∴ CQ=? =? , ∴ PC=2CQ=? ,∴ AP=ACPC=? . 22AD DC?2AC12 12AD DCAC? 24522DC DQ?185365 145? 綜上所述 ,若△ PCD是等腰三角形 ,則 AP=4,或 AP=5,或 AP=? . (2)連接 PF,DE,記 PF與 DE的交點為 O,連接 OC. ∵ 四邊形 ABCD和四邊形 PEFD都是矩形 , ∴∠ ADC=∠ PDF=90176。,OE=OD,∴ OC=? ED. 在矩形 PEFD中 ,PF=DE,∴ OC=? PF. ∵ OP=OF=? PF,∴ OC=OP=OF, ∴∠ OCF=∠ OFC,∠ OCP=∠ OPC, 145121212又 ∵∠ OPC+∠ OFC+∠ PCF=180176。,∴∠ PCF=90176。. 在 Rt△ ADC中 ,∠ PCD+∠ PAD=90176。,∴∠ DCF=∠ ACB. ∵ AD∥ BC,∴∠ ACB=∠ DAC, ∴∠ DCF=∠ DAP. 又 ∵∠ ADC=∠ PDF=90176。,連接 M39。P,則有 MP=M39。N的長 , 即菱形邊長 B. ? 3.(2022江西 ,6,3分 )如圖 ,任意四邊形 ABCD中 ,E,F,G,H分別是 AB,BC,CD,DA上的點 ,對于四邊形 EFGH的形狀 ,某班學生在一次數(shù)學活動課中 ,通過動手實踐 ,探索出如下結(jié)論 ,其中 ? 的是 ? ( ) ? E,F,G,H是各邊中點 ,且 AC=BD時 ,四邊形 EFGH為菱形 E,F,G,H是各邊中點 ,且 AC⊥ BD時 ,四邊形 EFGH為矩形 E,F,G,H不是各邊中點時 ,四邊形 EFGH可以為平行四邊形 E,F,G,H不是各邊中點時 ,四邊形 EFGH不可能為菱形 ??錯 誤答案 D 連接 AC, E,F,G,H是各邊中點時 ,由三角形中位線定理可得 EF∥ AC且 EF=? AC,GH∥ AC且 GH=? AC,所以 EF∥ GH且 EF=GH,所以四邊形 EFGH為平行四邊形 .當 AC=BD 時 ,因為 EF=? AC,EH=? BD,所以 EF=EH,所以四邊形 EFGH為菱形 ,選項 A正確 。當 E,F,G,H不是各邊中 點時 ,若 ? =? ,? =? ,則 GH∥ AC,EF∥ AC,所以 GH∥ ? =? =? =? ,所以 EF=GH,所以四邊形 EFGH為平行四邊形 ,選項 C正確 。BD=? 2? 2=2? .故選 A. 12212 122 25.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,已知 A、 F、 C、 D四點在同一條直線上 ,AF=CD,AB∥ DE,且 AB=DE. (1