【正文】 1+? ,∴ 點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (2,3)或 (1+? ,3). 377 7解題關(guān)鍵 本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特點(diǎn) ,根據(jù)等邊三角形的邊長求高是解題關(guān)鍵 . 8.(2022南京 ,16,2分 )已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)中 ,函數(shù) y與自變量 x的部分對(duì)應(yīng)值如下表 : 則當(dāng) y5時(shí) ,x的取值范圍是 . x … 1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 答案 0x4 解析 由拋物線的對(duì)稱性及題中表格可知 ,當(dāng) x=0,x=4時(shí) ,y=5,且拋物線開口向上 ,故當(dāng) 0x4時(shí) , y5. 9.(2022揚(yáng)州 ,16,3分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx+c(a0)的對(duì)稱軸是過點(diǎn) (1,0)且平行于 y軸的直線 ,若 點(diǎn) P(4,0)在該拋物線上 ,則 4a2b+c的值為 . ? 答案 0 解析 點(diǎn) (4,0)關(guān)于對(duì)稱軸 x=1對(duì)稱的點(diǎn)為 (2,0),當(dāng) x=2時(shí) ,y=4a2b+c=0. 解題關(guān)鍵 利用數(shù)形結(jié)合思想 ,找出點(diǎn) (4,0)關(guān)于對(duì)稱軸 x=1對(duì)稱的點(diǎn)為 (2,0)是解決本題的關(guān)鍵 . 10.(2022蘇州 ,25,8分 )如圖 ,已知拋物線 y=x24與 x軸交于點(diǎn) A,B(點(diǎn) A位于點(diǎn) B的左側(cè) ),C為頂點(diǎn) .直 線 y=x+m經(jīng)過點(diǎn) A,與 y軸交于點(diǎn) D. (1)求線段 AD的長 。3, 把 y=177。,AC=6 cm,BC=2 cm,點(diǎn) P在邊 AC上 ,從點(diǎn) A向點(diǎn) C 移動(dòng) ,點(diǎn) Q在邊 CB上 ,從點(diǎn) C向點(diǎn) B移動(dòng) .若點(diǎn) P,Q均以 1 cm/s的速度同時(shí)出發(fā) ,且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終 點(diǎn)時(shí) ,另一點(diǎn)也隨之停止 ,連接 PQ,則線段 PQ的最小值是 ? ( ) ? cm cm ? cm ? cm 5 2答案 C 設(shè) P、 Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t s,則 AP=CQ=t cm, ∴ CP=(6t)cm, ∴ PQ=?=?=?(cm), ∵ 0≤ t≤ 2, ∴ 當(dāng) t=2時(shí) ,PQ的值最小 , ∴ 線段 PQ的最小值是 2? cm. 故選 C. 22PC CQ? 22(6 )tt?? 22( 3) 18t??5解題關(guān)鍵 本題考查了二次函數(shù)的最值、勾股定理 ,正確地理解題意是解題的關(guān)鍵 . 4.(2022蘇州 ,8,3分 )二次函數(shù) y=ax2+bx1(a≠ 0)的圖象經(jīng)過點(diǎn) (1,1),則代數(shù)式 1ab的值為 ? ( ) 答案 B 把點(diǎn) (1,1)代入函數(shù)解析式 ,得 a+b1=1,則 1ab=1,故選 B. 5.(2022淮安 ,14,3分 )將二次函數(shù) y=x21的圖象向上平移 3個(gè)單位長度 ,得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù) 表達(dá)式是 . 答案 y=x2+2 解析 拋物線 y=x21的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,1),把點(diǎn) (0,1)向上平移 3個(gè)單位長度所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,2),所以平移后的拋物線解析式為 y=x2+2. 故答案為 y=x2+2. 方法總結(jié) 本題考查了二次函數(shù)圖象的平移變換 :由于拋物線平移后的形狀不變 ,故 a不變 ,所 以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法 :一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐 標(biāo) ,利用待定系數(shù)法求出解析式 。 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 中考數(shù)學(xué) (江蘇專用 ) 考點(diǎn) 1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) A組 20222022年江蘇中考題組 五年中考 1.(2022南通 ,9,3分 )如圖 ,等邊△ ABC的邊長為 3 cm,動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) A出發(fā) ,以每秒 1 cm的速度 ,沿 A→ B→ C的方向運(yùn)動(dòng) ,到達(dá)點(diǎn) C時(shí)停止 ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x(s),y=PC2,則 y關(guān)于 x的函數(shù)圖象大致為 ? ( ) ? ? 答案 C 過 C作 CD⊥ AB,則 AD= cm,CD=? ? cm, ? ① 當(dāng) 0≤ x≤ 3,即點(diǎn) P在 AB上時(shí) ,AP=x cm,PD=||cm, 此時(shí) y=PC2=? +()2=x23x+9(0≤ x≤ 3), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分 。167。 二次函數(shù) 167。 ② 當(dāng) 3x≤ 6時(shí) ,即點(diǎn) P在線段 BC上時(shí) ,PC=(6x)cm(3x≤ 6), 此時(shí) y=(6x)2=(x6)2(3x≤ 6), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象是拋物線的一部分 . 故選 C. 32323 32??????易錯(cuò)警示 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象 .解答該題時(shí) ,需要對(duì)點(diǎn) P的位置進(jìn)行分類討論 ,以 防錯(cuò)選 . 2.(2022宿遷 ,4,3分 )將拋物線 y=x2向右平移 2個(gè)單位 ,再向上平移 1個(gè)單位 ,所得拋物線相應(yīng)的函 數(shù)表達(dá)式是 ? ( ) =(x+2)2+1 =(x+2)21 =(x2)2+1 =(x2)21 答案 C 將拋物線 y=x2向右平移 2個(gè)單位 ,再向上平移 1個(gè)單位 ,所得拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá) 式是 y=(x2)2+1. 故選 C. 思路分析 根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律 :“左加右減 ,上加下減” ,即可寫出函數(shù)表達(dá)式 . 3.(2022宿遷 ,8,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo) ,即可求出解析式 . 6.(2022鎮(zhèn)江 ,10,2分 )a、 b、 c是實(shí)數(shù) ,點(diǎn) A(a+1,b)、 B(a+2,c)在二次函數(shù) y=x22ax+3的圖象上 , 則 b、 c的大小關(guān)系是 b c(用“ ”或“ ”填空 ). 答案 解析 拋物線 y=x22ax+3的對(duì)稱軸是直線 x=a. ∵ aa+1a+2, ∴ A、 B在對(duì)稱軸右側(cè) ,且 B在 A的右側(cè) . 根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)知 ,bc. 7.(2022泰州 ,16,3分 )二次函數(shù) y=x22x3的圖象如圖所示 ,若線段 AB在 x軸上 ,且 AB為 2? 個(gè)單位 長度 ,以 AB為邊作等邊△ ABC,使點(diǎn) C落在該函數(shù) y軸右側(cè)的圖象上 ,則點(diǎn) C的坐標(biāo)為 . ? 3答案 (1+? ,3)或 (2,3) 7解析 ∵ △ ABC是等邊三角形 ,且 AB=2? , ∴ AB邊上的高為 3, 又 ∵ 點(diǎn) C在二次函數(shù)圖象上 ,∴ 點(diǎn) C的縱坐標(biāo)為 177。3分別代入 y=x22x3,得 x=1177。 (2)平移該拋物線得到一條新拋物線 ,設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為 C39。平行于直線 AD,求新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式 . ? 解析 (1)由 x24=0解得 x1=2,x2=2, ∵ 點(diǎn) A位于點(diǎn) B的左側(cè) ,∴ A(2,0),B(2,0), ∵ 直線 y=x+m經(jīng)過點(diǎn) A,∴ 2+m=0, ∴ m=2,∴ D(0,2), ∴ AD=? =2? . (2)解法一 :根據(jù)題意可設(shè)新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y=x2+bx+2, ∵ y=x2+bx+2=? +2? ,∴ C39。平行于直線 AD,并且經(jīng)過點(diǎn) C(0,4), ∴ 直線 CC39。平行于直線 AD,并且經(jīng)過點(diǎn) C(0,4), ∴ 直線 CC39。在直線 y=x4上 , 22OA OD? 222bx???????24b2,224bb????????24b 2b∴ 設(shè)頂點(diǎn) C39。 (2)若拋物線 y=x2+mx2m4(m為常數(shù) )與正方形 ABCD的邊有交點(diǎn) ,求 m的取值范圍 。時(shí) ,求 m的值 . ? 解析 (1)y=x2+mx2m4=(x24)+m(x2)=(x2)(x+2+m), 當(dāng) x=2時(shí) ,y=0, ∴ 拋物線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是 (2,0). ∵ 拋物線的解析式為 y=x2+mx2m4, ∴ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=? =? , 當(dāng) x=? 時(shí) ,y=? +m的直線的解析式為 y=x3, 從而 x2+4x4=x3, 解得 x1=? (舍去 ),x2=? , 故 m=5+? , 當(dāng)點(diǎn) M在線段 AB下方時(shí) , 過點(diǎn) B且使 ∠ ABM=45176。 (2)設(shè)二次函數(shù) y=k(2x+2)(ax2+bx+c)(k為實(shí)數(shù) ),它的圖象的頂點(diǎn)為 D. ① 當(dāng) k=1時(shí) ,求二次函數(shù) y=k(2x+2)(ax2+bx+c)的圖象與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 。 ③ 過點(diǎn) M的一次函數(shù) y=? x+t的圖象與二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象交于另一個(gè)點(diǎn) P,當(dāng) k為何值 時(shí) ,點(diǎn) D在 ∠ NMP的平分線上 ? ④ 當(dāng) k取 2,1,0,1,2時(shí) ,通過計(jì)算 ,得到對(duì)應(yīng)的拋物線 y=k(2x+2)(ax2+bx+c)的頂點(diǎn)分別為 (1,6), (0,5),(1,2),(2,3),(3,10).請(qǐng)問 :頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是變量嗎 ?縱坐標(biāo)是如何隨橫坐標(biāo)的變化而變 化的 ? 34解析 (1)由題意知 y=a(x1)2+2,將 (0,3)代入 ,得 a=1,則 y=(x1)2+2,即 y=x22x+3, ∴ a=1,b=2,c=3.? (2分 ) (2)① 當(dāng) k=1時(shí) ,y=x2+4x1. 令 y=0,則 x2+4x1=0,解得 x=2177。? ,∵ k+11,∴ k=3? 舍去 , BCAB MEMA 8 x x? 3513 13∴ k=3+? .? (8分 ) ④ 是 .當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于 1時(shí) ,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而增大 ,頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于 1時(shí) , 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而減小 .? (10分 ) 13思路分析 (1)由 x=1時(shí) ,y有最小值 2,知頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,2),又圖象過 (0,3),從而可求 a、 b、 c的值 . (2)① 求 k=1,y=0時(shí) ,x的值 。③ 利用角平分線的性質(zhì)及三角形相似求解 。 (2)在 x軸上是否存在點(diǎn) C,使得△ ABC是直角三角形 ?若存在 ,求出點(diǎn) C的坐標(biāo) 。 (3)過線段 AB上一點(diǎn) P,作 PM∥ x軸 ,交拋物線于點(diǎn) M,點(diǎn) M在第一象限 ,點(diǎn) N(0,1),當(dāng)點(diǎn) M的橫坐標(biāo) 為何值時(shí) ,MN+3MP的長度最大 ?最大值是多少 ? ? 14解析 (1)因?yàn)辄c(diǎn) A是直線與拋物線的交點(diǎn) ,且其橫坐標(biāo)是 2, 所以點(diǎn) A的縱坐標(biāo)為 y=? (2)2=1,A點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,1). 設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b,將 (0,4),(2,1)代入得 ? 解得 ? 所以直線的函數(shù)關(guān) 系式為 y=? x+ ,所以令 ? x+4=? x2,即 x26x16=0,解之得 x1=2,x2=8,當(dāng) x= 8時(shí) ,y=? 8+4=16, 所以點(diǎn) B(8,16).? (4分 ) (2)如圖 1,過點(diǎn) B作 BG∥ x軸 ,過點(diǎn) A作 AG∥ y軸 ,交點(diǎn)為 G,所以 AG2+BG2=AB2. ? 144,2 1,b kb???? ? ?? 3 ,24,kb? ??????32 32 1432圖 1 由 A(2,1),B(8,16)可求得 AB2=325. 設(shè)點(diǎn) C(m,0),同理可得 ,AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5, BC2=(m8)2+162=m216m+320. ① 若 ∠ BAC=90176。,則 AB2=AC2+BC2,即 325=m2+4m+5+m216m+320,化簡得 m26m=0,解之得 m=0或 m=6. ③ 若 ∠ ABC=90176。 (2)把該函數(shù)的圖象沿 y軸向下平移多少個(gè)單位長度后 ,得到的函數(shù)的圖象與 x軸只有一個(gè)公共點(diǎn) ? 解析 (1)證法一 :因?yàn)?(2m)24(m2+3)=120, 所以方程 x22mx+m2+3=0沒有實(shí)數(shù)根 . 所以不論 m為何值 ,函數(shù) y=x22mx+m2+3的圖象與 x軸沒有公共點(diǎn) .? (4分 ) 證法二 :因?yàn)?a=10,所以該函數(shù)的圖象開口向上 . 又因?yàn)?y=x22mx+m2+3=(xm)2+3≥ 3, 所以該函數(shù)的圖象在 x軸的上方 . 所以不論 m為何值 ,該函數(shù)的圖象與 x軸沒有公共點(diǎn) .? (4分 ) (2)y=x22mx+m2+3=(xm)2+3. 把函數(shù) y=(xm)2+3的圖象沿 y軸向下平移 3個(gè)單位長度后 ,得到函數(shù) y=(xm)2的圖象 ,它的頂點(diǎn)坐 標(biāo)是 (m,0),因此 ,這個(gè)函數(shù)的圖象與 x軸只有一個(gè)公共點(diǎn) . 所以把函數(shù) y=x22mx+m2+3的圖象沿 y軸向下平移 3個(gè)單位長度后 ,得到的函數(shù)的圖象與 x軸只 有一個(gè)公共點(diǎn) .? (8分 ) 1.(2022徐州 ,8,3分 )若函數(shù) y=x22x+b的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn) ,則 b的取值范圍是 ? ( ) 1且 b≠ 0 1 b1 1 答案 A ∵ 函數(shù) y=x22x+b的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn) , ∴ ? 解得 b1且 b≠ A. 2( 2) 4 0,0,Δ bb? ? ? ? ????2.(2022鎮(zhèn)江 ,8,2分 )若二次函數(shù) y=x24x+n的圖象與 x軸只有一個(gè)公共點(diǎn) ,則實(shí)數(shù) n= . 答案 4 解析 ∵ 二次函數(shù) y=x24x+n的圖象與 x軸只有一個(gè)交點(diǎn) ,∴ Δ=b24ac=(4)24n