第三節(jié)-最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)-展示頁(yè)
2025-06-26 14:31本頁(yè)面
【正文】 機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的估計(jì)值。可以明顯看出的是，在系數(shù)的描述中，方差中含有隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差，其他我們可以得到。至此，我們可以用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差來(lái)刻畫(huà)和這兩個(gè)隨機(jī)變量的分布，即有：服從均值為、方差為的正態(tài)分布；而服從均值為、方差為的分布。這說(shuō)明系數(shù)估計(jì)值和這兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）分別等于總體參數(shù)（實(shí)際值）。通常，我們采用的是均值與方差。又因?yàn)楹投挤恼龖B(tài)分布，所以，我們可以自然得到兩點(diǎn)：一是系數(shù)估計(jì)值是隨機(jī)變量（這里是在數(shù)學(xué)上再次予以證明）；二是系數(shù)估計(jì)值服從正態(tài)分布。從而在統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到廣泛應(yīng)用。因?yàn)榈淖钚》讲畹扔诘姆讲?，即，因此，我們說(shuō)，在所有線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)中的方差最小，且最小方差為：同理，我們可以證明，在所有線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)中的方差最小，且參數(shù)估計(jì)值的方差為：。因?yàn)榫哂芯€(xiàn)性特性，我們可以得到：， 又因?yàn)槭怯闷渌椒ǖ玫降目傮w參數(shù)的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，所以有所以由上述兩個(gè)結(jié)果，可以得到：上述式子要成立，必須同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件，即和現(xiàn)在求的方差：因?yàn)楦鶕?jù)假設(shè)條件（常數(shù)方差和非自相關(guān)，即和所以，有方差的最后一項(xiàng)為這是因?yàn)楹鸵虼?，有很明顯，當(dāng)時(shí)，方差最小，此時(shí)，最小值為。證明：根據(jù)參數(shù)估計(jì)值的線(xiàn)性特征，我們推導(dǎo)出：，所以有：相似地，所以有三、 最優(yōu)性（有的書(shū)本上直接稱(chēng)之為最小方差性）的含義最優(yōu)性是指用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)值和在各種線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)中得到的方差最小。在這里，無(wú)偏性是指參數(shù)估計(jì)值和的期望值分別等于總體參數(shù)和。問(wèn)題參數(shù)估計(jì)值線(xiàn)性特性的深層次含義是什么？要根據(jù)被解釋變量、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)和的隨機(jī)性來(lái)理解。而所以，這說(shuō)明是的線(xiàn)性組合。需要指出的是，這里用到了以及的線(xiàn)性特征證明（1）因?yàn)?，所以有這里，令，則有這說(shuō)明是的線(xiàn)性組合。這說(shuō)明是的線(xiàn)性組合。第三節(jié) 最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)三大性質(zhì)：線(xiàn)性特性、無(wú)偏性和最小偏差性一、 線(xiàn)性特性的含義線(xiàn)性特性是指參數(shù)估計(jì)值和分別是觀測(cè)值或者是擾動(dòng)項(xiàng)的線(xiàn)性組合，或者叫線(xiàn)性函數(shù)，也可以稱(chēng)之為可以用或者是來(lái)表示。的線(xiàn)性特征證明（1）由的計(jì)算公式可得：需要指出的是，這里用到了因?yàn)椴蝗珵榱?，可設(shè)，從而，不全為零，故。（2）因?yàn)?，所以有這說(shuō)明是的線(xiàn)性組合。（2）因?yàn)榛貧w模型為，所以因?yàn)?。至此，參?shù)的線(xiàn)性特性證明完畢。二、 無(wú)偏性的含義所謂無(wú)偏性是指估計(jì)值的均值等于真實(shí)值。其數(shù)學(xué)上要求是和。 根據(jù)上述的定義，我們可以任意假設(shè)是用其他方法得到的總體參數(shù)的一個(gè)線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)。而在此時(shí)，有即兩個(gè)估計(jì)值相等。由此，說(shuō)明，最小二乘估計(jì)具有BLUE(best linear unbiased estimation)性質(zhì)。第四節(jié) 系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)一、 系數(shù)估計(jì)值的特性：根據(jù)系數(shù)估計(jì)值的線(xiàn)性特性，我們知道系數(shù)估計(jì)值是和的線(xiàn)性組合。從而，可以用隨機(jī)變量的一些數(shù)字特征來(lái)表示。 系數(shù)估計(jì)值的均值是多少呢？ 根據(jù)系數(shù)估計(jì)值的無(wú)偏性，我們知道。系數(shù)估計(jì)值的方差又是多少呢？根據(jù)
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